Um dos postulados de incidência nos diz que dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.
Figura E: Equação geral da reta
Partindo desse princípio a figura acima nos mostra três pontos distintos pertencentes a uma reta r. Dois de seus pontos são conhecidos, a saber, os pontos A(x1,y1) e B(x2,y2). O ponto C (x,y) é genérico. Visto que os pontos A, B e C pertencem a mesma reta, logo estão alinhados. Já aprendemos que o determinante da matriz abaixo quando retorna zero, comprova a colinearidade de três pontos.
x1
y1
1
x2
y2
1
x
y
1
= 0
Desenvolvendo o determinante:
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0
Os valores x1, x2, y1 e y2 são conhecidos e podemos fazer:
y1 – y2 = a
x2 – x1 = b
x1y2 – x2y1 = c
por fim, teremos:
ax + by + c = 0
Essa é a forma geral da equação da reta.
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
Figura F: Coeficiente angular 0º < a < 90°
Figura G: Coeficiente angular 90º < a < 180°
Figura H: Coeficiente angular igual a 90°
Figura I: Coeficiente angular nulo
Na sequência de figuras acima podemos ver a mesma reta r com diversas inclinações. Cada inclinação exibe um α, e é a medida desse α que é chamada de inclinação da reta r. Note que no caso em que α = 90° não é possível determinar a inclinação da reta r, visto que tg α não é definida. E na situação em que a reta r é paralela ao eixo das abscissas, a sua inclinação é zero, ou seja, tg α = 0.
Coeficiente angular ou declividade de uma reta r é o número real m resultado da tangente trigonométrica de sua inclinação α, ou seja: m = tg α.
Figura J: Coeficiente angular da reta r
Dados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) pertencentes a uma reta r, o coefieciente angular dessa reta pode ser calculado como:
m
=
tg α
=
y2 – y1
x2 – x1
Por meio da relação acima podemos encontrar uma equação bastante conhecida. Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x1,y1) e tem coeficiente angular m. Em seguida, tomamos um ponto Q(x,y) qualquer sobre a reta r, sendo Q ≠ P. Da fórmula acima tem-se:
m
=
y – y1
x – x1
y – y1 = m(x – x1)
Essa fórmula recebe o nome engraçado de “Yoyô me chichô”. Isso é um recurso para facilitar a memorização pelos alunos. Essa é a fórmula da equação de uma reta que passa por um ponto conhecido e cujo coeficiente angular também foi fornecido.
Equação reduzida da reta
Podemos encontrar a equação reduzida da reta a partir da equação geral ax + by + c = 0 e também a partir da equação y – y1 = m(x – x1). Vejamos cada caso.
A partir da equação geral
ax + by + c = 0
by = -ax – c
y
=
–
a
b
x
–
c
b
Chamando -a/b de m e -c/b de n, tem-se:
y = mx + n
A partir da equação y – y1 = m(x – x1)
y – y1 = m(x – x1)
Para esta parte vamos considerar o ponto de coordenadas (0,b).
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
y = mx + b
Onde m é o coeficiente angular da reta e b o ponto, onde a reta corta o eixo das ordenadas.
Equação segmentária da reta
Figura K: Equação segmentária da reta
Para encontrarmos a equação segmentária da reta vamos analisar os pontos onde a reta r contar os eixos coordenados. De acordo com a figura acima essas interseções ocorrem nos pontos (a,0) e (0,b). Já sabemos encontrar a equação de uma reta conhecidos o coeficiente angular e um de seus pontos.
y – y1 = m(x – x1)
m
=
b – 0
0 – a
=
-b
a
y – b
=
-b
a
(x – 0)
y – b
=
-b
a
x
y
=
-b
a
x
+
b
Multiplicando ambos os lados por a, tem-se:
ay = -bx + ab
bx + ay = ab
Dividindo ambos os lados por ab, tem-se:
bx
ab
+
ay
ab
=
ab
ab
x
a
+
y
b
=
1
Equações paramétricas da reta
Figura L: Equação paramétrica de uma curva
Parametrizar uma curva significa poder escrever as coordenadas de um ponto genérico de uma curva em função de outra variável, geralmente se utiliza a letra t.
x
=
f(t)
, t ∈ ℝ
y
=
g(t)
t funciona como parâmetro e a medida que seu valor é alterado, obtém-se novos pontos da curva. Esse conceito será facilmente entendido por meio de um exemplo.
Exemplo
Uma reta r passa pelos pontos (3,0) e (0,2). Encontre:
a) Sua equação geral
b) Sua equação reduzida
c) Sua equação segmentária
d) Uma de suas equações paramétricas
