Livro de Matemática

Em álgebra, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não vazio de elementos, juntamente com duas operações binárias, geralmente denotadas como adição e multiplicação, (A, +, .). Um anel deve satisfazer certas propriedades para ser considerado um anel.
Formalmente, um anel é um conjunto A equipado com duas operações binárias, denotadas usualmente como “+” (adição) e “⋅” (multiplicação), que satisfazem as seguintes propriedades:

1. Fechamento sob adição: Para todo a e b em A, a + b está em A.
2. Associatividade da adição: Para todo a, b e c em A, (a + b) + c = a + (b + c).
3. Elemento neutro da adição: Existe um elemento 0 em A tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a em A.
4. Elemento inverso aditivo: Para cada a em A, existe um elemento -a em A tal que a + (-a) = (-a) + a = 0.
5. Comutatividade da adição: Para todo a e b em A, a + b = b + a.
6. Fechamento sob multiplicação: Para todo a e b em A, a ⋅ b está em A.
7. Associatividade da multiplicação: Para todo a, b e c em A, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
8. Distributividade: Para todo a, b e c em A, a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) e (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a).

Não é necessário que a multiplicação seja comutativa em um anel. No entanto, se a multiplicação também for comutativa, ou seja, a ⋅ b = b ⋅ a para todo a e b em A, então o anel é chamado de anel comutativo.
Além disso, um anel pode ter outras propriedades adicionais, como a existência de um elemento neutro da multiplicação (denotado por 1) e a ausência de divisores de zero (elementos diferentes de zero que, quando multiplicados, resultam em zero). Dependendo dessas propriedades adicionais, o anel pode ser classificado em diferentes tipos, como anel comutativo, anel unitário, anel integral, entre outros.

Exemplos de anéis

1. Os conjuntos numéricos: ℤ, ℚ, ℝ e ℂ
2. Anel das matrizes quadradas de ordem n.
3. Anel dos polinômios
4. Anel de funções
5. Anel das classes de restos módulo m, Z_m.
6. Anel produto direto. (AxB, +, .).

Subanéis

Subanel é um subconjuntos de um anel. Veja na imagem abaixo a representação dos conjuntos numéricos.

Veja que o conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos racionais, logo é subconjunto deste. Sendo ℤ e ℚ anéis, podemos dizer que ℤ é subanel de ℚ.

Seja (A,+,.) um anel qualquer e (B,+,.) um subconjunto não vazio de A. Para que B seja considerado um subanel de A é necessário que x – y e x.y ∈ B, ∀ x, y ∈ B.