Livro de Matemática

Aplicações das derivadas

As aplicações do cálculo são fascinantes! Neste primeiro momento vamos observar como se comporta uma função com relação a crescimento, decrescimento, pontos de máximos e mínimos locais e/ou absolutos.
Vamos estudar a relação entre a derivada de uma função e o seu comportamento.

Crescimento e decrescimento

Vamos analisar como a função f(x) = x³ – 3x se comporta.

Gráfico da função f(x)=x^3 - 3x.
Figura H: Esboço do gráfico da função f(x) = x³ – 3x.

Etapa 1: calculamos a derivada da função. Em seguida igualamos a derivada a zero e resolvemos em função de x.

f(x) = x³ – 3x
f'(x) = 3x² – 3

3x² – 3 = 0
3x² = 3
x = ± 1

Os valores de x encontrados são os pontos críticos candidatos da função f(x) = x³ – 3x. Pelo gráfico da função fica perfeitamente determinado que o seu domínio é toda a reta real. Portanto, os pontos críticos encontrados são pontos de máximo/mínimo locais.
É importante salientar que uma curva terá retas tangentes horizontais em todos os pontos de mínimo e máximo locais(exceto nos vértices acentuados) e em todos os pontos de inflexão horizontais.

Pontos críticos da função f(x)=x^3 - 3x.
Figura I: Pontos críticos da função f(x) = x³ – 3x.

Etapa 2: fazemos o estudo do sinal da função derivada.

Estudo do sinal da função f(x)=3x^2 - 3.
Figura J: Estudo do sinal da função quadrática f(x) = 3x² – 3.

Note que a função derivada é positiva à esquerda e à direita das raízes; e negativa entre as raízes. A relação existente entre a função derivada e a função original é que onde a função derivada é positiva, a função original é crescente. O intervalo onde a função derivada é negativa, a função original é decrescente.

f'(x) > 0 ⇔ x < -1 ou x > 1
f'(x) < 0 ⇔ -1 < x < 1

Portanto, f(x) é crescente no intervalo (-∞,-1], descrescente no intervalo [-1,1] e crescente no intervalo [1;+∞).

Máximos e mínimos de uma função

Um ponto c pertencente ao domínio de uma função y = f(x), é dito ponto crítico de f(x) se f'(c) = 0 ou f'(c) não existir.

Ponto de máximo local: f(c) > f(x) numa vizinhança de c.
Ponto de máximo global: f(c) > f(x) em todo o domínio de f.

Ponto de mínimo local: f(c) < f(x) numa vizinhança de c.
Ponto de mínimo global: f(c) < f(x) em todo o domínio de f.

Calculemos os valores de f(x) para as abscissas -1 e 1 encontradas na primeira derivada.

f(x) = x³ – 3x
f(-1) = (-1)³ – 3(-1)
f(-1) = -1 + 3 = 2
f(x) = x³ – 3x
f(1) = (1)³ – 3(1)
f(1) = 1 – 3 = -2

Os pontos (-1,2) e (1,-2) são os pontos críticos de f(x). Para sabermos se estes pontos são de máximo ou de mínimo faremos o teste da segunda derivada.

f(x) = x³ – 3x
f'(x) = 3x² – 3 → derivada primeira
f”(x) = 6x

Estudo do sinal da função f(x)=6x.
Figura K: Estudo do sinal da função f(x) = 6x.

Fazendo o estudo do sinal da função f”(x) podemos concluir que f”(x) é positiva para todo x > 0 e negativa para todo x < 0.

Se f”(x) > 0, a concavidade do gráfico de f(x) é para cima, portanto um ponto de mínimo local.
Se f”(x) < 0, a concavidade do gráfico de f(x) é para baixo, portanto um ponto de máximo local.
Se f”(x) = 0, nada se pode concluir.

Para os valores críticos x = -1 e x = 1, tem-se:

f”(x) = 6x
f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0, portanto um máximo local.
f”(1) = 6(1) = 6 > 0, portanto um mínimo local.

Nota:

Quando x = 0, tem-se um ponto de inflexão. Este é o ponto onde o gráfico de f(x) muda de concavidade.