Livro de Matemática

Na circunferência acima foram marcados dois pontos distintos A e B. A partir de agora a circunferência fica dividida em duas partes ou dois arcos. O arco AB e o arco BA.

Caso o ponto A coincida com o ponto B, eles determinam um arco nulo ou arco de uma volta.

Se quisermos saber a medida de um arco usamos duas medidas: o grau (símbolo °) e o radiano (símbolo rad). Um grau equivale a 1/360 da circunferência que contém o arco a ser medido. já 1 radiano equivale a um raio unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.

Ângulo central

São dados dois pontos distintos A e B sobre a circunferência acima e ligando ambos ao centro O formamos entre as semi-retas OB e OA o ângulo α. A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente.
AOB = AB = α
Note que a medida de um arco não é a mesma coisa que a medida do comprimento desse arco. Os arcos AB e CD na figura abaixo possuem a mesma medida α, porém não têm o mesmo comprimento.

Unidades para medir arcos

O grau (°)

Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes corresponderá a um arco de 1º(lê-se um grau). Portanto, uma circunferência possui 360º.
Na sequência de figuras abaixo a circunferência foi dividida em 4 partes idênticas. Cada parte corresponde a um arco de 90°.

O grau possui submúltiplos que são o minuto e o segundo.

• Um minuto é igual a 1/60 do grau (símbolo ‘).
• Um segundo é igual a 1/60 do minuto (símbolo ”).

Portanto, um arco de medida igual a 35 graus, 14 minutos e 22 segundos, é indicado como: 35° 14′ 22″.

O radiano (rad)

Dada uma circunferência de raio r vamos fazer o seguinte experimento. Extraimos uma medida igual ao raio e a sobrepomos na circunferência, conforme a segunda figura. A partir deste ponto podemos pontuar o arco, recém colocado, com os pontos A e B conforme a terceira figura. Note que o arco AB tem o mesmo comprimento do raio da circunferência. Desta forma, o ângulo central mede 1 radiano.
1 rad = arco de mesmo comprimento do raio da circunferência.

Comprimento de um arco

Veja na figura acima dois arcos destacados, um AB e outro CD. O arco CD está numa circunferência cujo raio mede 6 cm, já o arco AB está numa circunferência de raio 9 cm. Ambos possuem a mesma medida que é π/6 rad, porém comprimentos de arco diferentes. Para calcular o comprimento de cada arco vamos montar as seguintes proporções:
Cálculo do comprimento l₁ ou arco CD.

2π está para π/6 assim como 2πr(comprimento da circunferência) está para l₁ (comprimento que desejo encontrar). Multiplicando cruzado fica assim: 2πl₁ = π/6 * 2π * r. Sendo r = 6 cm, vem:

2πl₁ = π/6 * 2π * 6

2πl₁ = 2π²

l₁ = 2π²/2π

l₁ = π cm

Cálculo do comprimento l₂ ou arco AB.

2π está para π/6 assim como 2πr(comprimento da circunferência) está para l₂ (comprimento que desejo encontrar). Multiplicando cruzado fica assim: 2πl₂ = π/6 * 2π * r. Sendo r = 9 cm, vem:

2πl₂ = π/6 * 2π * 9

2πl₂ = 3π²

l₂ = 3π²/2π

l₂ = 3π/2 cm

De forma geral o comprimento de um arco pode ser obtido montando as proporções abaixo:

Multiplicando cruzado fica:

2πl = 2παr

Logo, o comprimento do arco depende da medida do arco e do raio da circunferência.