Arranjos simples
Arranjo simples é uma forma de organizar ou agrupar elementos de um conjunto. Nesse tipo de técnica, os elementos são distintos, ou seja, não se repetem, e um grupo pode ser diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos.
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p (n ≥ p), a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
| An,p | = |
|
Exemplo 1
Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?
Pelo princípio fundamental da contagem temos 6 elementos e 3 posições.
| 6 | 5 | 4 |
Visto que não podemos repetir algarismos; para a primeira posição, podemos utilizar qualquer um dos 6 números; para a segunda posição, podemos usar apenas 5 dos números, já que utilizamos um para a primeira posição; para a terceira posição, temos 4 possibilidades, pois já reservamos 2 números.
Portanto, pelo processo multiplicativo, temos:
6 • 5 • 4 = 120
Podemos, assim, formar 120 números.
Pelo método de arranjo
| An,p | = |
|
| A6,3 | = |
|
|
= |
|
3! no numerador pode ser cortado com 3! no denominador. Assim, ficamos com 6 • 5 • 4 = 120.
Exemplo 2
Ao se cadastrar em um portal eletrônico de compras, o usuário deve criar uma senha formada por duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguidas por dois algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas nessas condições?
Vamos dividir o processo de resolução em duas etapas.
1ª etapa: escolha das letras
Devemos escolher 2 letras entre as 26 disponíveis. Temos A26,2.
| A26,2 | = |
|
| A26,2 | = |
|
= 650 |
2ª etapa: escolha dos algarismos.
Devemos escolher 2 algarismos entre os 10 disponíveis. Temos um arranjo A10,2.
| A10,2 | = |
|
| A10,2 | = |
|
= 90 |
A escolha da senha é um processo composto por duas etapas: escolha das duas letras e a escolha dos dois algarismos. Portanto, A26,2 • A10,2.
A26,2 • A10,2 = 650 • 90 = 58.500.
Exemplo 3
Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8 e 9 contêm o 2 e não contêm o 6?
O algarismo 2 pode aparecer na 1ª, 2ª ou 3ª posição. E, além disso, não deverá incluir o algarismo 6.
| 2 |
| 2 |
| 2 |
Portanto, teremos 3 • A3,2. Isso porque teremos fixado o algarismo; 2 e dos 4 algarismos restantes, devemos excluir o 6, ficando com 3 algarismos.
3 • A3,2 = 3 • 3! ÷ (3 – 2)! = 3 • 3! = 3 • 6 = 18
Exemplo 4
Um casal, procurando um nome para o filho que nasceria em dois meses, relacionou cem nomes em uma lista. Quantas são as possibilidades, se o casal pode escolher entre um só nome ou um nome composto (2 nomes)?
• Escolher um só nome:
Existem 100 possibilidades.
• Escolher um nome composto:
Escolher 2 nomes entre os 100 disponíveis.
| A100,2 | = |
|
= 9.900 |
O total de possibilidades é 9.900 + 100 = 10.000.
Exemplo 5
Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco com cinco lugares. De quantas maneiras diferentes podem se sentar, nunca ficando em pé a mulher?
| M |
| M |
| M |
| M |
| M |
Veja todas as posições em que a mulher poderá estar. Fixando a mulher numa posição, teremos 5 homens para 4 posições; portanto:
5 • A5,4 = 600