Livro de Matemática

Aspectos iniciais

Antes de começarmos nosso estudo de integral vamos relembrar como calcular a área das figuras planas abaixo:

Gráfico exibindo o desenho de um retângulo
Figura A: Conjunto de pontos formando um retângulo.
Gráfico exibindo o desenho de uma circunferência
Figura B: Uma circunferência traçada no plano cartesiano.
Gráfico exibindo o desenho de um trapézio.
Figura C: Um trapézio traçado no plano cartesiano.

Para estas figuras já existem fórmulas prontas para calcular a sua área.

• Aretângulo = base * altura.
• Acírculo = πr².
• Atrapézio = [(B + b)h] / 2

Como calcular a área de uma região que não é comum? A função f(x) no gráfico abaixo está definida num intervalo [a,b]. Como calcular a área nesse intervalo? Para encontrar o valor de áreas de figuras incomuns como esta recorremos às integrais.

Gráfico exibindo a área abaixo de uma função qualquer
Figura D: Área abaixo de uma função qualquer.

Vamos calcular a área da figura abaixo da função dada usando uma aproximação por retângulos. Nesta aproximação iremos particionar o intervalo [a,b] em n subintervalos. Inicialmente, faremos a aproximação da área por quatro retângulos, todos com a mesma largura.

Aproximação da área da função por quatro retângulos
Figura E: Aproximação da área da função por quatro retângulos.
Aproximação da área da função por sete retângulos
Figura F: Aproximação da área da função por sete retângulos.

Δx será a base de cada retângulo e a sua altura será o valor da função naquele ponto xi.

x1 = a + Δx
x2 = a + 2Δx

xn = a + nΔx

Para calcularmos a área aproximada da figura devemos somar a área de cada retângulo. Lembrando que quanto mais retângulos tivermos mais próximo da área real será o valor encontrado.

Sn = f(x1)Δx + f(x2)Δx + … + f(xn)Δx

Sn =

n
∑
i = 1

 f(xi)Δx
Sn = lim
n
∑
i = 1
 f(xi)Δx
n→∞

Esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x).

Nota

Fazer a integração de f(x) de x = a até x = b significa encontrar a área sob a curva entre a e b.

A medida que a faixa fica cada vez mais estreita, obtém-se uma estimativa cada vez melhor da área da região sombreada.
Figura G: A integral acima diz para você somar as áreas de todas as faixas retangulares estreitas entre a e b sob a curva f(x).

Exemplo

Encontrar por aproximação a área da figura abaixo da função f(x) = -x² + 8x -7 e o eixo das abscissas.

Aproximação da área por três retângulos.
Aproximação da área por cinco retângulos.
Aproximação da área por quinze retângulos.

• Aproximação por 3 retângulos:

S3 =

3
∑
i = 1

 f(xi)Δx

S3 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx
S3 = f(1,3)*1,8 + f(3,1)*1,8 + f(6,7)*1,8
S3 = 1,71*1,8 + 8,19*1,8 + 1,71*1,8
S3 ≅ 20,898

• Aproximação por 5 retângulos:

S5 =

5
∑
i = 1

 f(xi)Δx

S5 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + f(x4)Δx + f(x5)Δx
S5 = f(1,5)*1 + f(2,5)*1 + f(3,5)*1 + f(5,5)*1 + f(6,5)*1
S5 = 2,75*1 + 6,75*1 + 8,75*1 + 6,75*1 + 2,75*1
S5 ≅ 27,75

• Aproximação por 15 retângulos:

S15 =

5
∑
i = 1

 f(xi)Δx

S15 = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + … + f(x15)Δx
S15 = f(1,45)*0,34 + f(1,79)*0,34 + f(2,13)*0,34 + … + f(6,21)*0,34
S15 = 2,4975*0,34 + 4,1159*0,34 + 5,5031*0,34 + … + 4,1159*0,34
S15 ≅ 34,74

A área exata da figura pode ser encontrada através da Integral Definida da função f(x). Veremos mais a frente sobre este assunto.

∫ b f(x)dx
 
a

No momento, o que podemos saber é que a área exata da figura é de 36 u.a. E quanto mais retângulos utilizamos mais próximo chegamos desse valor.

∫ 7 (-x² + 8x – 7)dx
 
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