O que você vai estudar: Aspectos iniciais Primitivas e integral indefinida Métodos de integração – Integração por substituição – Integração por partes – Integração por frações parciais Integral definida Integrais impróprias Integrais múltiplas – Integrais duplas – Regiões de integração – Mudança de variável – Integrais triplas
Antes de começarmos nosso estudo de integral vamos relembrar como calcular a área das figuras planas abaixo: Figura A: Conjunto de pontos formando um retângulo. Figura B: Uma circunferência traçada no plano cartesiano. Figura C: Um trapézio traçado no plano cartesiano. Para estas figuras já existem fórmulas prontas para calcular a sua área. • Aretângulo […]
Dada uma função ƒ:]a,b[→ ℝ, uma primitiva de ƒ (ou antiderivada) é uma função F:]a,b[ → ℝ tal que F'(x) = f(x). Podemos pensar na integração como o processo inverso da derivação. Figura A: Esquema explicativo do processo de derivação e integração. No capítulo anterior estudamos sobre Derivadas e aprendemos várias técnicas de manipulação de […]
Na tabela abaixo u é uma função derivável em x e C, m e a são constantes. ∫ du = u + C ∫ du u = ln|u| + C ∫ um du = um + 1 m + 1 + C (m é constante ≠ […]
Os exemplos abaixo podem ser resolvidos verificando a tabela de integrais neste capítulo. Exemplo 1 Resolva: ∫ (x-3 + x³)dx ∫ x-3dx + ∫ x³dx Vamos utilizar a regra: ∫ xn dx = xn + 1 n + 1 + C x-3 + […]
Os exemplos dessa seção são um pouco mais elaborados e exigem mais do seu raciocínio para resolvê-los. Em alguns momentos será necessário escrevermos as funções de uma outra forma com a finalidade de facilitar a resolução. Exemplo 1 ∫ √x dx Vamos reescrever a integral como: ∫ x½ dx […]
Há casos em que não é possível resolvermos uma integral imediatamente, simplesmente verificando na tabela de integrais. É necessário fazermos algumas manipulações. A primeira técnica que veremos é conhecida como Integração por Substituição. Integração por substituição Exemplo 1 Resolva: ∫ √(2x + 1)dx Vamos reescrever a integral. ∫ (2x + 1)½dx […]
A grande motivação para o desenvolvimento da Integral definida foi o cálculo de áreas, porém esse conceito se aplica a diversas situações. A notação de Integral definida é dada por: ∫ b f(x)dx = lim n ∑ i = 1 f(Ci)Δxi Δxi→0 a Note que a e b se refere ao intervalo onde a […]
Seja f um função contínua em [a,b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então: ∫ b f(x)dx = F(b) – F(a) a Exemplo 1 Resolva: ∫ 4 x²dx 1 ∫ 4 x²dx = F(4) – F(1) 1 Onde F(x) é a primitiva de f(x) = x². ∫ 4 […]
O que você vai estudar: Introdução Soluções de equações diferenciais Introdução Introdução