Combinação com repetição
Em matemática, uma combinação com repetição é uma maneira de contar o número de maneiras distintas de escolher elementos de um conjunto, onde a ordem dos elementos não importa e os elementos podem ser escolhidos mais de uma vez. Isso é diferente de uma combinação simples, onde cada elemento só pode ser escolhido uma vez.
A fórmula para combinação com repetição é dada por:
| C(n + r – 1, r) | = |
|
Onde:
n é o número de opções diferentes (elementos distintos) que você tem.
r é o número de escolhas que você precisa fazer.
C (n + r – 1, r) é a combinação com repetição.
A fórmula reflete o fato de que você está “distribuindo” r escolhas entre n opções, permitindo repetições. A interpretação combina os conceitos de combinação e permutação.
Por exemplo, se você tiver n tipos diferentes de objetos e quiser escolher r deles com repetição permitida, a fórmula ajudará a calcular quantas maneiras diferentes você pode fazer essas escolhas.
Exemplo 1
Uma adega dispõe de 5 tipos diferentes de vinho. De quantas maneiras uma pessoa poderá comprar 2 garrafas de vinho?
| C(n + r – 1, r) | = |
|
| C(5 + 2 – 1, 2) | = |
|
| C(6, 2) | = |
|
= | 15 |
Exemplo 2
(Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode escolhê-las de N formas. O valor de N é
(A) 3
(B) 10
(C) 15
(D) 35
(E) 125
| C(n + r – 1, r) | = |
|
| C(5 + 3 – 1, 3) | = |
|
| C(7, 3) | = |
|
= | 35 |
Outra interpretação do problema é visualizá-lo como uma equação.
a + b + c + d + e = 3
Onde cada letra representa uma marca de refrigerante.
1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 3
Uma opção seria escolher um refrigerante da marca a, um da marca d e outro da marca e.
0 + 2 + 1 + 0 + 0 = 3
Ainda outra opção seria escolher dois refrigerantes da marca b e um da marca c e nenhum das demais marcas.
Logo, o que estamos procurando são as soluções inteiras da equação a + b + c + d + e = 3.
| C(3 + 4, 3) | = |
|
= | 35 |
Exemplo 3
Uma fábrica produz cinco tipos de balas que são vendidas em pacotes contendo 10 balas, de um mesmo tipo ou sortidas. Quantos pacotes diferentes podem ser formados?
Este problema pode ser interpretado como uma equação. Na verdade devemos encontrar todas as soluções inteiras dessa equação.
a + b + c + d + e = 10
Onde cada letra representa um tipo de bala. Porém, nesse caso não podemos ter incógnitas com valor zero. Por isso, devemos fazer uma mudança de variável.
a = x + 1
b = y + 1
c = z + 1
d = u + 1
e = v + 1
x + 1 + y + 1 + z + 1 + u + 1 + v + 1 = 10
x + y + z + u + v = 10 – 5
x + y + z + u + v = 5
| C(5 + 4, 5) | = |
|
= | 126 |
Portanto, podem ser formados 126 pacotes de balas nas condições impostas.