Livro de Matemática

Exemplo 1

Qual o número de diagonais de um hexágono?

Veja o desenho abaixo:

Note que, no hexágono, está destacada a diagonal FC. É fácil perceber que FC = CF; portanto, a ordem dos vértices não faz diferença. Percebemos também que uma diagonal utiliza dois dos seis pontos destacados no hexágono. Para calcularmos o número total de diagonais, utilizaremos a fórmula:

Essa primeira, parte nos diz que, com os 6 pontos e agrupando-os dois a dois, podemos fazer 15 agrupamentos. Entretanto, note que os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA não são diagonais e podem ser excluídos.
Portanto, o número total de diagonais de um hexágono, é 15 – 6 = 9.

Exemplo 2

Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y.

Primeiro, vamos ver como uma comissão é formada.

comissão = 4 alunos + 2 alunas → C_10,4 • C_5,2

Entretanto, o problema solicita o número de comissões em que o aluno x participa e a aluna y não participa.

Bem, se o aluno x participa, então, já podemos fixá-lo numa das quatro posições. A partir de agora, para os meninos, teremos C_9,3. A aluna y não deverá participar; então, das 5, foi retirada 1. Logo, o total de agrupamentos formado por meninas é C_4,2.
Finalmente, temos o total de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y. Lembre-se de que a formação da comissão exige duas etapas: escolha dos meninos e, em seguida, das meninas.

C_9,3 • C_4,2 = 504

Exemplo 3

Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor?

As comissões podem ser do seguinte tipo:

1 diretor e 4 gerentes
2 diretores e 3 gerentes
3 diretores e 2 gerentes

De quantas maneiras podemos escolher 1 diretor dentre os 3 disponíveis? C_3,1
De quantas maneiras podemos escolher 4 gerentes dentre os 5 disponíveis? C_5,4

Portanto, o total de comissões do primeiro tipo (1 diretor e 4 gerentes) é:

C_3,1 • C_5,4 = 3 • 5 = 15

As demais comissões podem ser calculadas como:

C_3,2 • C_5,3 = 3 • 10 = 30
C_3,3 • C_5,2 = 1 • 10 = 10

Logo, o total de comissões será 15 + 30 +10 = 55