O conceito de derivada é bastante discutido no ensino superior. E o mais empolgante neste assunto é a sua infinidade de aplicações. Em termos simples, a derivada é uma razão, como, por exemplo, quilômetros por hora, litros por minuto ou lucro por item.
km
h
,
l
m
,
l
i
Generalizando, podemos dizer que derivada é uma razão do tipo:
derivada
=
aumento
distância
Figura A: Gráfico da função afim f(x) = x + 2
Figura B: A inclinação de uma reta pode se calculada dividindo-se o aumento pela distância.
derivada
=
aumento
distância
=
y2 – y1
x2 – x1
Quando efetuamos esse tipo de operação obtemos como resultado o coeficiente angular da reta, ou valor de m na função f(x) = mx + n.
Perceba que na função mostrada no gráfico acima, a derivada, ou o coeficiente angular da reta é sempre o mesmo em qualquer ponto da função. Mas, não podemos afirmar o mesmo quando a função apresentada é uma curva. Quando a função for uma curva, a derivada assumirá diferentes valores para diferentes pontos. Em alguns pontos ela terá valor positivo, noutros negativo ou nulo e em determinados pontos a derivada sequer existirá.
Portanto, a derivada da função no gráfico acima vale:
m
=
5 – 3
3 – 1
=
1
O valor encontrado coincide com o valor de m na função f(x) = x + 2. Nesta função o coeficiente angular vale 1, onde m = coeficiente angular.
Veja na imagem abaixo como a curva f(x) = – x² + x + 6 apresenta derivadas diferentes para pontos distintos.
Figura C: Veja que uma derivada pode apresentar diferentes valores em diferentes pontos de uma curva.
Vamos então encontrar o valor da derivada no ponto P da função f(x) = – x² + x + 6. Esta curva é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
Figura D
Figura E
Encontrar a derivada significa encontrar a inclinação da reta no ponto solicitado.
Figura F
Figura G
Nossa intenção é encontrar o valor da derivada no ponto P. Portanto, vamos fixar este ponto. Agora escolhemos na curva o ponto Q, móvel. Deste momento em diante temos uma reta secante à curva e dois pontos destacados nessa reta. Da geometria analítica temos que a inclinação de uma reta pode ser calculada como:
m
=
y2 – y1
x2 – x1
ou
tgθ
=
Δy
Δx
Portanto, supondo o ponto P fixo, imagine que o ponto Q se move em direção ao ponto P. A medida que Q se move em direção a P a reta secante passa a se transformar em uma reta tangente. Veja na figura G.
Logo, quando o ponto Q tende para o ponto P, x2 tende para x1.
É possível formalizar algebricamente o que observamos na figura G conforme abaixo:
Em seguida, aplicamos os valores encontrados na fórmula do limite.
m(1)
=
lim
f(1 + Δx) – f(1)
Δx
Δx → 0
m(1)
=
lim
1 + 3Δx + (Δx)² – 1
Δx
Δx → 0
m(1)
=
lim
3Δx + (Δx)²
Δx
Δx → 0
m(1)
=
lim
Δx(3 + Δx)
Δx
Δx → 0
m(1)
=
lim
3 + Δx
Δx → 0
m(1)
=
lim
3 + 0
=
3
Δx → 0
Portanto, a inclinação da reta à curva no ponto solicitado é igual a 3.
Exemplo 2
Encontrar a equação da reta tangente à curva y = √x no ponto x = 4.
A geometria analítica nos fornece a fórmula y – f(x1) = m(x – x1) para encontrar a equação da reta.
Visto que m é a inclinação da reta, vamos encontrá-lo através da fórmula do limite.
m(x1)
=
lim
f(x1 + Δx) – f(x1)
Δx
Δx → 0
m(4)
=
lim
f(4 + Δx) – f(4)
Δx
Δx → 0
f(x) = √x
f(4) = √4
f(4) = 2
f(4 + Δx) = √(4 + Δx)
m(4)
=
lim
√(4 + Δx) – √4
Δx
Δx → 0
m(4)
=
lim
√(4 + Δx) – 2
Δx
Δx → 0
Vamos multiplicar o numerador e o denominador √(4 + Δx) + 2.
√(4 + Δx) + 2 é o conjugado de √(4 + Δx) – 2.
m(4)
=
lim
√(4 + Δx) – 2
•
√(4 + Δx) + 2
Δx
√(4 + Δx) + 2
Δx → 0
m(4)
=
lim
4 + Δx – 4
Δx(√(4 + Δx) + 2)
Δx → 0
m(4)
=
lim
Δx
Δx(√(4 + Δx) + 2)
Δx → 0
m(4)
=
lim
1
√(4 + Δx) + 2
Δx → 0
m(4)
=
lim
1
=
1
√(4 + 0) + 2
4
Δx → 0
Agora que encontramos o valor de m, podemos substituí-lo na fórmula y – f(x1) = m(x – x1).
y
–
f(4)
=
1
4
(x – 4)
y
–
2
=
1
4
(x – 4)
y
=
1
4
(x – 4)
+
2
y
=
x
4
+
1
Portanto, a equação da reta procurada é:
y
=
x
4
+
1
A derivada de uma função num ponto
A derivada de uma função f(x) no ponto a, denotada por f'(a) é definida pelo limite
f'(a)
=
lim
f(a + Δx) – f(a)
Δx
Δx → 0
Também podemos escrever
f'(a)
=
lim
f(b) – f(a)
b – a
b → a
Como visto, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva f(x) no ponto (a,f(a)). Logo, geometricamente, o que tem-se é a inclinação da curva f(x) no ponto a. Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos do seu domínio.
