Derivação implícita
Função na forma implícita
Compreender derivação implícita implica entender como uma função y = f(x) se apresenta a forma implícita.
y = f(x) está na forma explícita e F(x,y) = 0 está na forma implícita. Portanto, dizemos que uma função y = f(x) se encontra na forma implícita quando ao substituírmos y por f(x) em F(x,y) = 0, nos deparamos com uma identidade.
F(x,y) = 0 → forma implícita
Por exemplo:
a equação
| x2 | + |
|
y | – | 1 | = | 0 |
define implicitamente a função y = 2(1 – x2). Como prova, ao substituirmos y = f(x) em F(x,y) = 0 obtemos uma identidade.
| x2 | + |
|
2(1 – x2) | – | 1 | = | 0 |
Derivação de uma função na forma implícita
Vamos derivar a equação x² + y² = 9.
A obtenção da derivada da equação acima não nos impõe que a explicitemos.
(x²)’ + (y²)’ = 9′
2x + 2yy’ = 0
O termo y’ apareceu porque y é uma função de x, ou seja, y = f(x). Nessa situação precisamos aplicar a regra da cadeia, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.
Agora devemos isolar y’.
2yy’ = -2x
| y’ | = |
|
| y’ | = |
|
Exemplo 1
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação xy² + 2y³ = x – 2y, determine y’.
(xy² + 2y³)’ = (x – 2y)’
(xy²)’ + (2y³)’ = (x)’ – (2y)’
x(y²)’ + x’.y² + 6y²y’ = 1 – 2*1*y’
x2yy’ + y² + 6y²y’ = 1 – 2y’
x2yy’ + 6y²y’ + 2y’ = 1 – y²
y'(2xy + 6y² + 2) = 1 – y²
| y’ | = |
|