Derivadas parciais
Até o momento aprendemos a encontrar a derivada de funções de uma variável. A partir de agora vamos expandir esse conceito para funções de duas ou mais variáveis. Portanto, calcular a derivada de uma função do tipo z = f(x,y) requer duas etapas:
Etapa 1: derivamos em relação à variável x e mantemos a variável y fixada (tratando-a como constante).
Etapa 2: derivamos em relação à variável y e mantemos a variável x fixada (tratando-a como constante).
Por exemplo: Calcular as derivadas parciais da função f(x,y) = 2x²y + 3xy² – 4x.
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(x,y) = | 4xy + 3y² – 4 |
Veja que a variável y foi tratada como constante.
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(x,y) = | 2x² + 6xy |
Nesse momento a variável x foi tratata como constante.
Exemplo 1
Seja z = 2x² + 5y²x – 12x. Encontre a inclinação da reta tangente à curva C1 resultante da intersecção de z = f(x,y) com y = 1, no ponto (2,1,-6).
De acordo com o problema há uma intersecção da função z com o plano y = 1.
z = 2x² + 5y²x – 12x
z = g(x) = 2x² + 5(1)²x – 12x
z = g(x) = 2x² – 7x → C1
g'(x) = 4x – 7 ou
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(x,y) = | 4x – 7 |
A inclinação da reta tangente à curva C1 é dada pela tgα.
| tgα = |
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(2,1) = | 4(2) – 7 = 1 |
Logo, tgα = 1.