Derivadas sucessivas
A ideia de derivadas sucessivas é bastante natural e não trará nenhuma dificuldade adicional.
Definição
Seja f(x) uma função derivável. Ao derivármos f(x), encontramos f'(x). Assim fica definida uma nova função f'(x). E a partir desta podemos derivar novamente, chegando em f”(x)(lê-se f-duas linhas de x). f”(x) é a derivada segunda de f(x). Também é possível escrevermos
|
Lê-se derivada segunda de f em relação a x.
Exemplo 1
Encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x² + 8x + 1.
Função: f(x) = 3x² + 8x + 1
Derivada primeira: f'(x) = 6x + 8
Derivada segunda: f”(x) = 6
Exemplo 2
Determinar a derivada de segunda ordem da função f(x) = ³√(4 – x³).
A função f(x) = ³√(4 – x³) pode ser reescrita como f(x) = (4 – x³)1/3
Função: f(x) = (4 – x³)1/3
Derivada primeira:
f'(x) = 1/3(4 – x³)1/3 – 1(4 – x³)’
f'(x) = 1/3(4 – x³)-2/3(-3x²)’
f'(x) = -x²(4 – x³)-2/3
Derivada segunda:
f”(x) = (-x²)((4 – x³)-2/3)’ + (4 – x³)-2/3(-x²)’
f”(x) = (-x²)(-2/3(4 – x³)-2/3 – 1(4 – x³)’) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-x²)(-2/3(4 – x³)-5/3(- 3x²)’) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-x²)(2x²(4 – x³)-5/3) + (4 – x³)-2/3(-2x)
f”(x) = (-2x4)(4 – x³)-5/3 + (4 – x³)-2/3(-2x)
Exemplo 3
Determinar a derivada de ordem n = 100 da função g(x) = cosx.
g(x) = cosx
g(1)(x) = – senx
g(2)(x) = – cosx
g(3)(x) = – (-senx) = senx
g(4)(x) = cosx
Na quarta derivada retornamos ao valor da função original. A cada 4 períodos as derivadas da função cosx se repete. Logo, g(4)(x) = g(8)(x) = g(12)(x) … g(100)(x) = cosx
Exemplo 4
Determinar a n-ésima derivada de f(x) = ex/2.
Função: f(x) = ex/2
Derivada primeira:
| f'(x) | = | ex/2 | ( |
|
)’ |
| f'(x) | = |
|
ex/2 |
Derivada segunda:
| f”(x) | = |
|
ex/2 | ( |
|
)’ |
| f”(x) | = |
|
ex/2 |
Se continuarmos derivando concluiremos que as derivadas sucessivas seguem à fórmula:
| f(n)(x) | = |
|
ex/2 |