Desconto simples
Imagine a seguinte situação:
Rogério possui uma dívida de valor N a ser quitada daqui n meses. No entanto, um mês antes do vencimento,
ele decide quitar a dívida. No ato do pagamento Rogério pagará um valor inferior a N, um valor V. Por efetuar o
pagamento da dívida antes e seu vencimento, o devedor se beneficia de um abatimento correspondente ao juro que seria
gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
Esse benefício recebe o nome de Desconto.
Acompanhe o significados das letras na situação-problema acima:
N: Valor nominal ou valor de face (valor da dívida na data de vencimento)
V: Valor atual (valor líquido pago ou recebido antes do vencimento)
n: período entre o dia em que se negocia a dívida e o de seu vencimento
i: apesar de não informada na situação-problema as operações de desconto ocorrem com base numa taxa de desconto
Vimos anteriormente que um determinado capital C aplicado por determinado tempo a uma taxa de juros específica
produzirá um montante M. Note que se um capital C for aplicado “hoje” a uma determinada taxa quanto terei de
montante no futuro? Realizar o processo inverso é obter o desconto. Quanto pagarei hoje ao descontar um título (dívida)
que vencerá daqui n períodos?
De acordo com Antônio Arnot Crespo – Matemática financeira fácil (2009, p.103):
Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:
• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado.(…)
• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a
um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de
tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.
Desconto simples comercial, bancário ou por fora
O desconto simples por fora é calculado sobre o valor nominal do título, ou seja, o valor futuro.
período que falta para o vencimento do título.
Exemplos
1) Um título de crédito com valor nominal de R$ 15.000,00 será descontada 4 meses antes de
seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 60% a.a. Determine:
a) O valor do desconto
b) O valor descontado do título
Dados do problema:
N = R$ 15.000,00
n = 4 meses → 4/12 ano
i = 60% a.a.
d = ?
A = ?
a) o valor do desconto:
d = N * i * n
d = 15000 * 0,6 * 4/12
d = 3000
Portanto, o desconto será de R$ 3.000,00.
b) o valor descontado:
A = N – d
A = 15000 – 3000 = 12000
Portanto, o valor que o proprietário do título receberá será de R$ 12.000,00.
2) Uma nota promissória com valor nominal de R$ 20.000,00 foi descontada 5 meses antes do
vencimento. Sabendo-se que o valor descontado foi de R$ 16.000,00, determine a taxa de desconto bancário
simples adotada na operação.
Dados do problema:
N = R$ 20.000,00
n = 5 meses
A = R$ 16.000,00
i = ?
A = N(1 – in)
16000 = 20000(1 – i*5)
16000 = 20.000 – 100.000i
-4000 = -100.000i
| i | = |
|
= | 4% a.m. |
Logo, a taxa de desconto aplicada na operação foi de 4% a.m.
3) Um título de crédito com valor de resgate igual a R$ 25.000,00 foi descontado à taxa de desconto simples por fora de 8% a.m. Se o valor descontado foi de R$ 18.000,00, determine o tempo que faltava para o vencimento do título.
Dados do problema:
N = R$ 25.000,00
A = 18.000,00
i = 8% a.m.
n = ?
A = N(1 – in)
18000 = 25.000(1 – 0,08n)
18.000 = 25.000 – 2.000n
-7.000 = -2.000n
| n | = |
|
= | 3,5 meses ou 3 meses e 15 dias |
Desconto simples racional ou por dentro
O desconto simples por dentro é calculado sobre o valor atual do título, ou seja, o valor resgatado antes do vencimento.
período que falta para o vencimento do título.
A = N – A * i * n
A + A * i * n = N
A(1 + in) = N
| A | = |
|
Como d = A * i * n
| d | = |
|
Exemplos
1) Um título com valor nominal de R$ 20.000,00 é descontado 6 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional simples de 120% a.a. Determine o valor do desconto e o valor descontado do título.
Dados do problema:
N = R$ 20.000,00
n = 6 meses
i = 120% a.a. ou 120 / 12 = 10% a.m.
d = ?
A = ?
| A | = |
|
| A | = |
|
= |
|
A = 12.500
Portanto, o valor descontado do título foi de R$ 12.500,00.
O valor do desconto será d = N – A → d = 20.000 – 12.500 = 7.500.
2) O valor do desconto de uma nota promissória é de R$ 15.000,00. Sabendo-se que foi utilizado o desconto racional simples, à taxa de 8% a.m., 120 dias antes do vencimento do título, determine o seu valor nominal.
Dados do problema:
d = R$ 15.000,00
i = 8% a.m.
n = 120 dias ou 4 meses
N = ?
| d | = |
|
| 15.000 | = |
|
||
| 15.000 | = |
|
19.800 = 0,32N
N = 61.875
Logo, o valor nominal do título é de R$ 61.875,00.
3) Um duplicata foi submetida a desconto simples por dentro 5 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que o valor atual corresponde ao triplo do valor do desconto, determine a taxa de desconto aplicada.
Dados do problema:
n = 5 meses
A = 3d
i = ?
d = N – A
d = N – 3d
N = 4d
| d | = |
|
| d | = |
|
d(1 + in) = 4din
1 + in = 4in
1 = 3in
i = 1/3n
i = 1/15 ou 0,0667
Portanto, a taxa de desconto aplicada foi de aproximadamente 6,67% a.m.
d F = N * i * n
| d D | = |
|
| d D | = |
|
d F = d D(1 + in)
Taxa efetiva de desconto
Para entendermos o que é taxa efetiva de desconto a juros simples veja a situação abaixo:
- Antônio possui um título de crédito no valor de $10.000,00 com vencimento para daqui 2 meses.
- Antônio decide descontar o título em um banco. Nessa transação foi utilizada uma taxa de desconto comercial simples de 10% a.m.
- Nessa transação Antônio receberá $8.000,00.
- Do ponto de vista do banco, este fez uma aplicação de $8.000,00 para receber após 2 meses um montante de $10.000,00.
- J = c*i*n → 2.000 = 8.000*i*2 → i = 12,5% a.m.
- ie = 12,5% a.m. é a taxa efetiva de ganho do banco.
Quando não há despesas envolvidas na operação:
- No desconto comercial simples, a taxa de desconto efetiva linear sempre será maior do que à taxa de desconto simples.
- No desconto racional simples, a taxa de desconto efetiva linear será sempre igual à taxa de desconto simples.
Exemplos
1) Um título com valor nominal de $25.000,00 foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto simples por fora de 5% a.m. Calcular o valor atual do título, o valor atual líquido e a taxa de ganho efetiva linear do banco, sabendo-se que este cobra uma taxa de serviço bancário igual a 1% do valor nominal do título.
Dados do problema:
N = $25.000,00
n = 4 meses
i = 5% a.m.
A = ?
Al = ?
ie = ?
Despesas bancárias: 1% do valor nominal do título
A = N(1 – in)
A = 25.000(1 – 0,05*4)
A = 20.000
Porém o banco cobra uma taxa de 1% sobre o valor nominal do título, portanto o valor que o cliente irá receber será:
Al = 20.000 – 0,01 * 25.000 = 19.750
Para encontrarmos a taxa efetiva de ganho do banco devemos olhar do ponto de vista do banco. Este realizou uma aplicação de $19.750.
J = c * i * n
25.000 – 19.750 = 19.750 * ie * 4
5.250 = 19.750 * ie * 4
ie = 6,65% a.m.
2) Um título com valor nominal de $20.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto bancário simples de 5% a.m. Sabendo-se que o banco cobra, a título de despesas administrativas, o valor fixo de $100,00 para cada título descontado, pergunta-se: qual o valor atual do título, o valor atual líquido e a taxa de desconto efetiva linear?
Dados do problema:
N = $20.000
n = 3 meses
i = 5% a.m.
despesas bancárias: $100 por título descontado
A = ?
Al = ?
ie = ?
A = N(1 – in)
A = 20.000(1 – 0,05*3)
A = 17.000
O valor atual líquido leva em consideração a despesa administrativa cobrada pelo banco.
Al = 17.000 – 100 = 16.900
J = C * i * n
20.000 – 16.900 = 16.900 * ie * 3
3.100 = 50.700*ie
ie = 6,11% a.m.