Discutir um sistema linear é descobrir se ele é SPD, SPI ou SI de acordo com um determinado parâmetro. Para isso podemos utilizar tanto o método de escalonamento quanto a regra de Cramer. Vamos ver alguns exemplos:
Exemplo 1
Determine o valor de p para que o sistema abaixo admita solução única.
 |
| px + y – z |
= 4 |
| x + py + z |
= 0 |
| x – y |
= 2 |
|
Vamos encontrar o determinante da matriz incompleta do sistema.
Usando a regra de Sarrus encontramos Det A = 2p + 2.
Para que o sistema possua solução única, este deve ser SPD, logo o determinante 2p + 2 deverá ser diferente de zero.
2p + 2 ¹ 0
2p ¹ -2
p ¹ -1
S = {p Î R | p ¹ -1}
Exemplo 2
Discuta em função de m, o sistema abaixo:
|
| x – 3y + 2z |
= 1 |
| 2y + z |
= 3 |
| -x + 3my + z |
= -2 |
|
Vamos montar a matriz incompleta do sistema e calcular o seu determinante.
Usando a regra de Sarrus encontramos o valor de 9 – 3m para o determinante.
Det A = 9 – 3m
Caso o determinante de A seja diferente de zero teremos um sistema SPD. Porém, se o determinante for igual zero teremos um sistema SPI ou SI.
9 – 3m ¹ 0
9 ¹ 3m
m ¹ 3
Então, se m ¹ 3 temos um sistema SPD.
9 – 3m = 0
9 = 3m
m = 3
Se m = 3, temos um sistema SPI ou SI.
Vamos substituir o valor de m no sistema e resolvê-lo pelo método do escalonamento.
|
| x – 3y + 2z |
= 1 |
| 2y + z |
= 3 |
| -x + 9y + z |
= -2 |
|
Construimos a matriz aumentada do sistema e efetuamos operações de linha para solucioná-lo.
| 1 |
-3 |
2 |
1 |
| 0 |
2 |
1 |
3 |
| -1 |
9 |
1 |
-2 |
|
L3 ¬ L3 + L1.
| L3: |
-1 |
9 |
1 |
-2 |
| L1: |
1 |
-3 |
2 |
1 |
|
0 |
6 |
3 |
-1 |
| 1 |
-3 |
2 |
1 |
| 0 |
2 |
1 |
3 |
| 0 |
6 |
3 |
-1 |
|
L3 ¬ L3 + (-3)L2.
| L3: |
0 |
6 |
3 |
-1 |
| -3L2: |
0 |
-6 |
-3 |
-9 |
|
0 |
0 |
0 |
-10 |
Veja como fica a matriz aumentada.
| 1 |
-3 |
2 |
1 |
| 0 |
2 |
1 |
3 |
| 0 |
0 |
0 |
-10 |
|
A terceira equação nunca é solucionada, logo o sistema é SI.
Então, para m ¹ 3 temos um SPD e para m = 3 temos um SI.
