Dispositivo de Briot-Ruffini
O processo de divisão de polinômios pelo método da chave se torna exaustivo dependendo do tipo de polinômio que se deseja dividir.
Com o objetivo de facilitar esse processo de divisão criou-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Vamos resolver um exemplo para confirmarmos a sua simplicidade.
Desejamos obter o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão de P(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por x – 2.
| 2 | 3 | -5 | 1 | -2 |
| ↓ | 3(2) – 5 | 1(2) + 1 | 3(2) – 2 | |
| 3 | 1 | 3 | 4 |
Acompanhe o roteiro a ser seguido para a resolução desse problema.
1º) O local onde se encontra o número 2 é aonde deverá ficar a raiz do divisor.
2º) Os coeficientes do polinômio deverão ficar à direita. Note que, se o polinômio P(x) não possuísse o termo em x², o coeficiente desse termo deveria
ser informado como zero.
3º) Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo, nesse caso o número 3.
4º) Multiplicamos o número 3 pela raiz do divisor (2) e somamos com o próximo coeficiente (-5), colocando o resultado abaixo deste.
5º) Obtivemos 1. Agora repetimos o processo. Multiplicamos 1 pela raiz do divisor (2) e somamos ao próximo coeficiente (1), colocando o resultado abaixo deste.
6º) Obtivemos 3. Repetimos o processo novamente. Multiplicamos 3 pela raiz do divisor (2) e somamos ao próximo coeficiente (-2), colocando o resultado abaixo deste.
7º) Obtivemos 4. Visto que, não temos mais coeficientes do dividendo, a operação se encerra aqui.
O último número obtido é o resto da divisão. Os demais números são os coeficientes do quociente. Logo, na divisão de P(x) = 3x³ – 5x² + x – 2 por x – 2, encontramos Q(x) = 3x² + x + 3 e resto R(x) = 4.
O dispositivo de Briot-Ruffini só funciona para divisões onde o divisor é do tipo (ax + b).
Exemplo 1
Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = x6 – x4 por x – 1.
| 1 | ||
| 1 | → | 1 |
| 0 | 1(1) + 0 | 1 |
| -1 | 1(1) – 1 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
| 0 | 0(1) + 0 | 0 |
O último algarismo é sempre o resto da divisão. Logo, obtivemos Q(x) = x5 + x4 e resto R(x) = 0.
Exemplo 2
Dividindo-se o polinômio P(x) = -3x4 + 2x³ + ax² – 5x + b por x + 1 obtém-se resto igual a 2. O quociente dessa divisão é, então, dividido por x – 2 e obtém-se resto igual a -8. Qual é o valor das constantes a e b?
| -1 | -3 | 2 | a | -5 | b |
| ↓ | -3(-1) + 2 | 5(-1) + a | (-5 + a)(-1) – 5 | -a(-1) + b | |
| -3 | 5 | -5 + a | -a | 2 |
Daqui retiramos a informação de que a + b = 2.
Agora, dividimos o quociente por x – 2.
| 2 | -3 | 5 | -5 + a | -a |
| ↓ | -3(2) + 5 | -1(2) + a | (-7 + a)(2) – a | |
| -3 | -1 | -7 + a | -8 |
Dessa divisão retiramos a informação de que (-7 + a)(2) – a = -8 → -14 + 2a – a = -8 → a = 6.
Substituindo o valor de a em a + b = 2, obtemos 6 + b = 2 → b = -4.
Portanto, a = 6 e b = -4.