Livro de Matemática

Dados um ponto P(x_p,y_p) e uma reta r de equação ax + by + c = 0 deseja-se calcular a distânia entre essa reta e o ponto dado. Para isso traçamos um segmento perpendicular a reta r passando por P.

Note que traçando uma reta vertical em x_p, esta intersecta r em P(x_p,y_q). Até o momento são conhecidas as coordenadas x_p, y_p e a equação da reta r ax + by + c = 0. Visto que, o ponto Q faz parte da reta r podemos escrever a equação da reta da seguinte forma:

ax + by + c = 0
a(x_p) + b(y_q) + c = 0
b(y_q) = – a(x_p) – c

Vamos guardar essa informação.

Note que se formaram dois triângulos retângulos. Da equação reta conhecemos o coefiente angular, portanto podemos trabalhar como o ângulo α formado pela reta e o eixo das abscissas. Pelas propriedades dos triângulos sabemos que o ângulo α reaparece no triângulo superior.

Da trigonometria tem-se que:

A equação da reta já nos fornece o coeficiente angular.

ax + by + c = 0
by = -ax – c
y = (-a/b) x – c/b

(-a/b) é o coeficiente angular da reta r. Esse mesmo coeficiente pode ser encontrado fazendo-se:

Já vimos que:

d(P,r) = |y_p – y_q|.cos α.