Espaço amostral e evento
Ao realizarmos um experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral e é indicado por Ω. E cada um dos elementos de Ω é um ponto amostral.
Exemplo
Determine o espaço amostral nos seguintes experimentos:
a) Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima.
b) Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado par cima.
c) Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras das faces voltadas para cima.
d) Uma urna contém 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente, 3 bolas.
O espaço amostral são todos os possíveis resultados.
a) Ω = {K,C}
b) Ω = {1,2,3,4,5,6}
c) Ω = {(K,C),(C,K),(C,C),(K,K)}
d) Ω = {(PPP),(PPV),(PVP),(VPP),(VVP),(VVV),(PVV),(VPV)}
Veja a tabela de possibilidades abaixo:
| 1ª bola | 2ª bola | 3ª bola | Retirada |
|---|---|---|---|
| P | P | P | PPP |
| V | PPV | ||
| V | P | PVP | |
| V | PVV | ||
| V | P | P | VPP |
| V | VPV | ||
| V | P | VVP | |
| V | VVV |
Evento
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral Ω.
Para enterdemos melhor vamos pegar a letra c do exemplo acima como referência. No lançamento de duas moedas, a ocorrência de duas caras (K,K) é um evento ou subconjunto de Ω. Da letra d podemos obter mais eventos, veja:
• Evento 1: duas das bolas são pretas → {(PPV),(PVP),(VPP)}
• Evento 2: as três bolas têm a mesma cor → {(PPP),(VVV)}
Perceba que estes eventos estão contidos no espaço amostral Ω.
Perceba que, se o número de elementos de Ω for igual a n, Ω = n, então Ω terá 2n subconjuntos, e portanto, 2n eventos.
Tipos de eventos
Considere o experimento aleatório: o lançamento de um dado honesto e a observação da face voltada para cima.
Sabemos que o espaço amostral Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Evento A: Ocorrer um número menor que 7.
É óbvio que existe 100% de chance de que este evento ocorra, já que qualquer face voltada para cima atenderá ao evento. Este tipo de evento recebe o nome de evento certo.
Evento B: Ocorrer um número maior que 6.
A ocorrência deste evento é impossível, visto que os números nas faces do dado vão de 1 até 6. Este tipo de evento é chamado de evento impossível.
Evento C: Obter o número 5 na face superior.
Este evento possui apenas um elemento. Por isso recebe o nome de evento elementar.
Evento D: Ocorrência de um número ímpar → D = {1,3,5}
Evento E: Ocorrência de um número par primo → E = {2}
Evento D ⋃ E: Ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo → D ⋃ E = {1,2,3,5}
Este é o evento união.
Evento F: Ocorrência de um número par → F = {2,4,6}
Evento G: Ocorrência de um número múltiplo de 4 → G = {4}
Evento F ⋂ G: Ocorrência de um número par e múltiplo de 4 → F ⋂ G = {4}
Este é o evento interseção.
Evento H: Ocorrência de um número par → F = {2,4,6}
Evento I: Ocorrência de um número ímpar → F = {1,3,5}
H ⋂ I = ∅
Note que estes eventos não têm elementos em comum. São conjuntos disjuntos. Este tipo de evento recebe o nome de evento mutuamente exclusivo.
Evento M: Não ocorrer o número 5 → M = {1,2,3,4,6}
Evento M: Ocorrer o número 5 → M = {5}
Note que: M ⋃ M = Ω → espaço amostral. E que M ⋂ M = ∅. Quando isso ocorre, chamamos o evento de evento complementar.
Probabilidade de um evento
Consideremos um espaço amostral Ω = {a1,a2,a3, …, ak}. Vamos associar a cada ponto amostral de Ω um número real P(ai), que representará a probabilidade de ocorrência do ponto amostral ai.
Note que:
P(a1) + P(a2) + … + P(ak) = 1
E chamando de P a probabilidade de ocorrência de cada ponto amostral de Ω, teremos:
P + P + … + P = 1 → k • P = 1 → P = 1/k.
Agora, considere um evento E formado por r elementos ou pontos amostrais E = {a1,a2,a3, …, ar}, com r ≤ k.
A probabilidade de que E ocorra é dada por:
P(E) = P(a1) + P(a2) + … + P(ar)
Visto que E possui r elementos então teremos:
| P(E) | = |
|
+ |
|
+ … + |
|
| P(E) | = | r • |
|
| P(E) | = |
|
Note que r é o número de elementos de E e k o número de elementos de Ω. Como E ⊂ Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). Portanto, a probabilidade de um evento ocorrer é dada por:
| P(E) | = |
|
0 ≤ P(E) ≤ 1.
Exemplo 1
De uma baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:
a) uma dama.
b) uma dama de paus.
c) um carta de ouros.
a) Evento E: retirar uma dama de um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de E ocorrer é igual ao número de elementos de E divido pelo número de elementos do espaço amostral.
n(Ω) = 52
n(E) = 4, já que um baralho possui 4 damas.
P(E) = ?
| P(E) | = |
|
| P(E) | = |
|
= |
|
b) Evento F: retirar uma dama de paus de um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de F ocorrer é igual ao número de elementos de F divido pelo número de elementos do espaço amostral.
n(Ω) = 52
n(F) = 1
P(F) = ?
| P(F) | = |
|
| P(F) | = |
|
c) Evento G: retirar uma carta de ouros de um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de G ocorrer é igual ao número de elementos de G divido pelo número de elementos do espaço amostral.
n(Ω) = 52
n(G) = 13
P(G) = ?
| P(G) | = |
|
| P(G) | = |
|
= |
|
Exemplo 2
Uma caixa contém 9 bilhetes numerados de 1 a 9. Se 3 destes bilhetes são tirados juntos, qual a probabilidade de ser par a soma dos números?
Primeiramente, vamos encontrar o número de elementos do espaço amostral, ou seja, todas as possibilidades de se escolher 3 bilhetes dentre os 9. Note que retirando-se os bilhetes 2,3 e 5 ou 3,5 e 2 não faz diferença a ordem, já que serão os mesmos bilhetes.
Portanto, temos:
n(Ω) = C9,3 = 84
O evento procurado é aquele onde a soma dos números dos bilhetes é par.
Vamos simular alguns sorteios e analisá-los.
Sorteio 1: 2, 6, 8 → 2 + 6 + 8 = 16 (soma par)
Sorteio 2: 4, 6, 8 → 4 + 6 + 8 = 18 (soma par)
Sorteio 3: 2, 3, 7 → 2 + 3 + 7 = 12 (soma par)
Sorteio 4: 3, 5, 7 → 3 + 5 + 7 = 15 (soma ímpar)
O leitor poderá fazer outros sorteios e somar os números.
Veja que a soma dos números só é par quando todos os números são pares ou quando um dos números é par e os outros dois são ímpares.
Logo:
n(E) = C4,3 + (C5,2 • C4,1) = 4 + (10 • 4) = 44
C4,3 = todas as possibilidades de se escolher 3 números pares dentre os 4 existentes.
C5,2 = todas as possibilidades de se escolher 2 números ímpares dentre os 5 existentes.
C4,1 = todas as possibilidades de se escolher 1 número par dentre os 4 existentes.
| P(E) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Em um programa de prêmios da TV, são colocadas oito fichas sobre uma mesa, das quais três contêm prêmios. O participante deve escolher duas fichas ao acaso e virá-las simultaneamente. Qual a probabilidade de que haja prêmios nas duas fichas?
Vamos encontrar o número de elementos do espaço amostral, que representa todas as possibilidades de se escolher 2 fichas entre as 8 disponíveis.
n(Ω) = C8,2 = 28
Evento E: escolher duas fichas premiadas.
O problema nos disse que 3 das oito fichas são premiadas. Portanto, todas as possibilidades de se escolher duas fichas premiadas, vale C3,2. Logo:
n(E) = C3,2 = 3
| P(E) | = |
|
Probabilidade do evento complementar
Seja E um evento de um espaço amostral Ω. E é o evento complementar de E, ou seja, o evento que ocorre quando E não ocorre.
Note que E ⋂ E = ∅ e E ⋃ E = Ω
Assim temos que:
Exemplo 1
Em uma gincana, Antônio precisa jogar simultaneamente 2 dados e atingir a soma 5 para a sua equipe vencer uma prova. Qual é a probabilidade de sua equipe não ser a vencedora?
Nosso objetivo é encontrar o número de elementos do espaço amostral e em seguida o número de elementos do evento.
Espaço amostral
Quantos pares de números podemos obter lançando dois dados? Para um dado temos 6 possibilidades, logo para dois dados teremos 6 x 6 = 36 possibilidades, ou, 6² possibilidades.
n(Ω) = 36
Evento
Encontrar a quantidade de pares de números em que a soma não resulta em 5. Mas faremos o contrário, aqui.
E = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
n(E) = 4
A probabilidade de que a equipe de Antônio seja a vencedora é:
| P(E) | = |
|
= |
|
Pela fórmula da probabilidade do evento complementar, sabemos que:
P(E) + P(E) = 1
|
+ | P(E) | = | 1 |
| P(E) | = | 1 | – |
|
= |
|
Portanto, 8/9 é a probabilidade de a equipe de Antônio não ser a vencedora.
Exemplo 2
Consideremos uma conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
a) ambas não estejam estragadas.
b) pelo menos uma esteja estragada.
Objetivo:
Obter o número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento.
n(Ω) = C10,2 = 45
Temos 45 possibilidades de escolher 2 frutas entre as 10 existentes.
a) E = Escolher duas frutas boas (não estragadas).
Se das 10 frutas 3 estão estragadas, logo 7 estão boas. Portanto,
n(E) = C7,2 = 21
Agora, calculamos a probabilidade do evento E.
| P(E) | = |
|
= |
|
b) F = Escolher duas frutas e que dentre elas pelo menos uma esteja estragada.
Na alternativa anterior encontramos a probabilidade de escolhermos todas as frutas sadias. Logo, o evento complementar seria escolher pelo menos uma fruta estragada.
P(F) = P(E)
P(E) + P(E) = 1
|
+ | P(E) | = | 1 |
| P(E) | = | 1 | – |
|
| P(E) | = |
|
Exemplo 3
Uma pára-quedista programou seu pouso em uma fazenda retangular que possui um lago em seu interior, conforme indicado na figura abaixo. Se as condições climáticas não favorecerem o pára-quedista, o local de pouso pode se tornar aleatório. Qual é, nesse caso, a probabilidade de o pára-quedista pousar em terra? Adote π ≅ 3.
A probabilidade de um evento ocorrer é igual a divisão do número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.
O espaço amostral é toda a área da fazenda, ou seja, 500 x 300 = 150.000 m².
A probabilidade de o pára-quedista pousar no lago seria o resultado da divisão entre a área do lago pela área total da fazenda. Já a probabilidade dele pousar em terra seria o evento complementar, não pousar no lago.
Pela figura conseguimos extrair a medida do diâmetro do lago: 500 – 250 – 100 = 150 m. Portanto, o lago possui 150 ÷ 2 = 75 m de raio. A fórmula que nos retorna a área de um círculo é A = πr². Então, A = 3 • (75)² = 16.875 m².
Já que temos a área do lago, podemos encontrar a área de terra subtraindo da área total da fazenda a área do lago: 150.000 – 16.875 = 133.125 m².
Portanto, a probabilidade de que o pouso ocorra em terra será:
| P(E) | = |
|
= |
|
Isto equivale a 0,8875, ou 88,75%.
Probabilidade da união de dois eventos
Consideremos dois eventos A e B pertencentes a um espaço amostral Ω. Nossa intenção primária é encontrar a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B. Perceba que se A ocorre, então B não ocorre.
Para isso teremos dois casos:
1º caso: A ⋂ B = ∅
Neste caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos.
2º caso: A ⋂ B ≠ ∅
O evento A ⋂ B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Exemplo 1
Retirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de sair uma dama ou um rei?
O problema trata de dois eventos. Vamos anotá-los.
Evento A: retirar uma dama de um baralho de 52 cartas.
Evento B: retirar um rei de um baralho de 52 cartas.
Vamos calcular a probabilidade de cada evento.
| P(A) | = |
|
= |
|
Note que temos 4 damas. Portanto, 4 em 52 cartas disponíveis.
A probabilidade é a mesma para se retirar um rei.
| P(B) | = |
|
= |
|
Agora, qual a probabilidade de se retirar uma dama ou um rei. Notou a “palavrinha” ou? Quando o problema perguntar sobre a probabilidade de um evento ou outro ocorrer, então somamos as probabilidades de ambos.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)
P(A ⋃ B) = 1/13 + 1/13 = 2/13
Perceba que A ⋂ B = ∅
Exemplo 2
Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos dois cursos. Escolhendo-se ao acaso um aluno, qual a probabilidade de ele ser:
a) aluno de desenho publicitário.
b) aluno de desenho artístico.
c) aluno somente de desenho publicitário.
d) aluno de desenho artístico ou publicitário.
e) aluno de desenho artístico e publicitário.
Vamos fazer um desenho para facilitar a compreensão do problema.
Note que não nos foi dado o número de alunos que optaram pelos dois cursos. Mas, é fácil perceber que a intersecção é um valor comum aos dois conjuntos, portanto podemos chamar este valor de x.
Já que o total de alunos é igual a 90, temos que:
50 – x + x + 60 – x = 90
110 – x = 90
x = 20
Agora, informamos o valores corretos para o esboço acima. A partir de agora, vamos encontrar o valor da probabilidade de cada evento solicitado.
a) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho publicitário.
n(E) = 60
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
b) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico.
n(E) = 50
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
c) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser somente de desenho publicitário.
n(E) = 40
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
d) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico ou publicitário.
Aqui, faremos uso da fórmula da união de dois eventos.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)
P(A ⋃ B) = 2/3 + 5/9 – 2/9
P(A ⋃ B) = 2/3 + 3/9
P(A ⋃ B) = 2/3 + 1/3
P(A ⋃ B) = 3/3 = 1
e) a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser de desenho artístico e publicitário.
n(E) = 20
n(Ω) = 90
| P(E) | = |
|
= |
|
Exemplo 3
Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
Vamos construir uma tabela para visualizarmos melhor a situação.
| PD | GD | P | Total |
|---|---|---|---|
| 8 | 12 | 15 | 35 |
PD = Pequenos defeitos
GD = Grandes defeitos
P = Perfeitas
Veja que o que é pedido é: Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
Então, precisamos encontrar a probabilidade de dois eventos:
Evento A: a probabilidade de se retirar um peça perfeita.
Evento B: a probabilidade de se retirar uma peça com pequenos defeitos.
P(A) = 15/35
P(B) = 8/35
Evento A ⋃ B = retirar uma peça perfeita ou com pequenos defeitos.
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)
P(A ⋃ B) = 15/35 + 8/35
P(A ⋃ B) = 23/35
Portanto, a probabilidade procurada é de aproximadamente, 65,71%.