Livro de Matemática

Exercícios de introdução para fixar o conceito teórico.

Princípio fundamental da contagem

1. Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
   Resposta: 630
2. Uma prova é constituída de 12 testes do tipo verdadeiro ou falso. Quantas são as opções para resolver tal prova?
   Resposta: 2¹² ou 4096
3. A senha de um cadeado é formada por uma sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto.

   a) Quantas senhas podemos formar?
   b) Quantas senhas com quatro letras distintas podemos formar?
   c) Quantas senhas começando com vogal podem ser formadas?
   d) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por vogal?

   Resposta: a) 456.976 b) 358.800 c) 87.880 d) 11.040
4. Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Qual é a quantidade de números existentes nessa condição?
   Resposta: 952
5. Para ir ao trabalho, uma secretária procura sempre combinar blusa, saia e sapatos. Como ela não gosta de repetir as combinações, fez um levantamento nos armários e verificou que são possíveis 420 combinações diferentes. Se ela possui 10 blusas, quantas saias e quantos pares de sapato ela pode ter, sabendo que, para cada item, há mais de uma peça?
   Resposta: possíveis resultados: (saias,pares de sapato) (6,7);(7,6);(21,2);(2,21);(14,3);(3,14)
6. Quantos números de três algarismos existem? Quantos deles são formados por algarismos distintos?
   Resposta: 900;648
7. (UF-CE) Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar.
   Resposta: 5.000
8. Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois algarismos repetidos?
   Resposta: 252
9. Com os algarismos 1, 2, …, 9 formam-se números de quatro algarismos distintos. Quantos são maiores que 4.326?
   Resposta: 1.923
10. Determine o número de divisores positivos do número 8.400.
    Resposta: 60
11. O número 1.125 • 2ⁿ apresenta 84 divisores positivos. Qual é o valor de n?
    Resposta: 6
12. (UF-RJ) A mala do dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condições:

    • se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algarismo também é ímpar;
    • se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro;
    • a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.

    Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo dr. Z?

    Resposta: 1.800
13. Com os símbolos: △, ◻ e ◯, deseja-se formar sequências de cinco figuras geométricas, uma ao lado da outra.

    a) De quantos modos distintos isso pode ser feito?
    b) Se figuras vizinhas não podem ser iguais, quantas sequências podem ser formadas?
    c) Usando no máximo um círculo, quantas sequências podem se formadas?

    Resposta: a) 243 b) 48 c) 112
14. Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco traseiro. Quantas alternativas distintas há para lotar o automóvel escolhendo cinco entre sete pessoas determinadas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar no banco da frente?
    Resposta: 1.800
15. (FGV-SP) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.

    a) Quantas são as placas distintas, sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
    b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?

    Resposta: a) 158.184.000 b) ≃ 3,85%
16. Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami através de duas companhias: Varig ou Vasp. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?
    Resposta: 6
17. Um vagão de trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou?
    Resposta: 30
18. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abir o cofre?
    Resposta: 216 minutos ou 3h36min
19. Um estudante está procurando as soluções inteiras da equação 2x = a + b. Sabendo que a ∈ {1, 2, 3, 4, 5} e b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, de quantas maneiras o estudante poderá escolher a e b para obter soluções inteiras?
    Resposta: 13
20. A escrita braile para cegos é um sistema de símbolos em que cada um dos caracteres é formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca. Assim por exemplo:
    

    Qual o máximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de escrita?

    Resposta: 63
21. Determine quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.
    Resposta: 48