Forma trigonométrica ou polar
Dado um número complexo z = a + bi, vimos que o argumento θ satifaz as seguintes condições:
| sen θ = |
|
⇒ b = ρ*senθ |
| cos θ = |
|
⇒ a = ρ*cosθ |
A forma trigonométrica ou polar é apenas uma consequência dos conceitos anteriores. Quando substituimos a e b por ρ*cosθ e ρ*senθ, respectivamente, obtemos a forma trigonométrica.
z = a + bi
z = ρ*cosθ + ρ*senθ i
z = ρ(cosθ + i*senθ)
Exemplo 1
Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = 1 + √3 i.
A forma trigonométrica de um número complexo é do tipo z = ρ(cosθ + i*senθ), onde:
a = ρ*cosθ
b = ρ*senθ
ρ = √a² + b²
ρ = √ 1² + (√3)²
ρ = √ 1 + 3
ρ = √ 4
ρ = 2
| cosθ = |
|
| cosθ = |
|
| senθ = |
|
| senθ = |
|
Logo, θ = π/3.
Portanto, o número complexo z = 1 + √3 i na forma trigonométrica será:
z = 2(cosπ/3 + i.senπ/3)
Exemplo 2
Passar para a forma algébrica o número complexo z = 2(cosπ/6 + i . senπ/6).
Agora devemos fazer o processo inverso.
Vamos comparar o número complexo que temos com o número complexo geral na forma trigonométrica.
z = 2(cosπ/6 + i . senπ/6)
z = ρ(cosθ + i . senθ)
Daqui podemos retirar algumas informações importantes:
ρ = 2
θ = π/6
Um número complexo genérico na forma algébrica é dado como z = a + bi.
a = ρcosθ → a = 2*cosπ/6 → a = 2*√3 / 2 → a = √3
b = ρsenθ → b = 2*senπ/6 → b = 2*1/2 → b = 1
z = √3 + i
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica
Dados dois números complexos z1 = ρ1(cosθ + i*senθ) e z2 = ρ2(cosβ + i*senβ), a multiplicação z1 * z2 = ρ1*ρ2[cos(θ + β) + isen(θ + β)].
Divisão de números complexos na forma trigonométrica
Dados dois números complexos z1 = ρ1(cosθ + i*senθ) e z2 = ρ2(cosβ + i*senβ), a divisão será:
|
= |
|
cos(θ – β) + isen(θ – β) |
Potenciação de números complexos na forma trigonométrica
Dado um número complexo z = ρ(cosθ + i*senθ), ao elevarmos z ao expoente n teremos zn = ρn(cos(nθ)+isen(nθ)).
A fórmula acima é devida ao matemático francês Abraham de Moivre e é chamada de Fórmula de Moivre.
Radiciação de números complexos na forma trigonométrica
Dado um número complexo z = ρ(cosθ + i*senθ) e o número natural n (n ≥ 2), então poderemos encontrar n raízes enésimas de z. Estas raízes serão da forma:
| zk | = | n√ρ | cos( |
|
+k |
|
) | + | isen( |
|
+k |
|
) |
K = 0,1,2, …, n-1
Por exemplo:
| 3√1 | = | 1 | |||||||
|
|||||||||
|