Função
Em Matemática, chamamos de função qualquer relação de um conjunto A em um conjunto B que satisfaça à seguinte condição: “Todo elemento de A possui uma única imagem em B“. Função nada mais é do que um subconjunto do produto cartesiano, logo ela é um tipo de relação.
Os diagramas acima representam cada um, uma função. Perceba as seguintes propriedades:
• Não existe no conjunto A elemento com mais de uma imagem no conjunto B.
• Não existe no conjunto A elemento que não tenha imagem no conjunto B.
• Podem sobrar elementos no conjunto B.
O conjunto A recebe o nome de Domínio ou campo de definição da função e o conjunto B é chamado de contra domínio. Já o conjunto imagem é o conjunto dos valores (retorno) da função e um subconjunto do contradomínio da função.
Exemplo 1
Dados os conjuntos: A = {0,-1,4} B = {a,b,c,d,e} C = {j,k,x} D = {1,-1}
Observe os gráficos sagitais abaixo que representam respectivamente as relações: M do conjunto A no conjunto B; P do conjunto A no conjunto C; L do conjunto B no conjunto A; F do conjunto D no conjunto B;
Quais delas representam funções e por que?
Exemplo 2
Considere o conjunto A = {1,2,3,4,5} e o conjunto B = {1,2,3,4,5,6,7}.A cada elemento de A façamos corresponder o seu sucessor em B.
Represente esta relação pela enumeração de seus elementos.
Esta função pode ser representada simbolicamente por f: A → B ou x → x + 1 f: A → B = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
Perceba que 2 = f(1), ou seja, que a imagem de 1 por f é 2 e a imagem de 2 por f é 3.
Função Injetora
Seja f uma função de A em B (f: A → B). Se para quaisquer elementos distintos de A correspondem elementos distintos do conjunto B dizemos que a função é injetora.
Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {-1,2,5,8,11}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = 3x + 2.
Função Sobrejetora
Seja f uma função de A em B (f: A → B). Dizemos que uma função é sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B, ou seja, Im(f) = B ou ainda Im(f) = CD(f).
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,3} e B = {0,1,4,9}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = x², onde x ∈ A e y ∈ B.
Função Bijetora
Uma função de A em B (f: A → B) é bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Desta forma, para elementos distintos do conjunto A correspondem elementos distintos em B (função injetora) e Im(f) = B (função sobrejetora).
Dados os conjuntos A = {-3,0,1,4} e B = {0,3,4,7}, vamos determinar a função f: A → B definida pela lei y = x + 3, onde x ∈ A e y ∈ B.
