Livro de Matemática

Conforme vimos no caso do seno e do cosseno de um ângulo, procuraremos associar a cada número real x o valor de tg x, introduzindo a função y = tg x. Perceba na figura acima que os arcos π/2 e 3π/2 estão representados com uma bolinha aberta. Isto indica que a tangente de x não está definida nestes pontos, já que nesta situação a reta que une o centro O à extremidade do arco x torna-se paralela ao eixo das tangentes, não o interceptando. De maneira geral, informamos que não existe tg(π/2 + kπ), com k ∈ Z.

Domínio da função y = tg x

D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}

Imagem da função y = tg x

Vejamos o que ocorre em cada quadrante, em relação aos valores assumidos por y = tg x, ao mesmo tempo que x completa uma volta no ciclo trigonométrico.

Iniciamos partindo de A (origem dos arcos). Neste ponto a tg x vale zero, ou seja, tg 0 = 0. Aqui o ponto T coincide com o ponto A. A medida que x aumenta dentro do primeiro quadrante, o ponto T se afasta gradativamente do ponto A, no sentido positivo do eixo. Desta maneira, o valor da tangente vai aumentando e assumindo valores reais e positivos até deixar de existir quando x = π/2.

Quando x passa para o segundo quadrante, o ponto T reaparece (na parte negativa do eixo das tangentes) e, a medida que x aumenta dentro do quadrante, o ponto T se aproxima de A, embora ainda na parte negativa do eixo. O ponto T volta a coincidir com A quando x assume o valor π. Neste ponto tg π = 0.

O terceiro quadrante T volta a ocupar a parte positiva do eixo das tangentes, afastando-se de A à medida que x aumenta dentro do terceiro quadrante até deixar de existir novamente, quando x = 3π/2.

No quarto quadrante T reaparece na parte negativa do eixo das tangentes, e a medida que x cresce o valor de tg x também aumenta até T coincidir com A em 2π onde tg 2π = 0.

Com isso chegamos as seguintes conclusões:

• tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes;
• tg x é negativa no 2º e 4º quadrantes;
• tg x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z;
• tg x assume qualquer valor real: Im = R;
• y = tg x é crescente em qualquer quadrante.

Valores notáveis

Na tabela abaixo encontram-se os valores de tangente dos ângulos mais comuns estudados em trigonometria. A partir destes ângulos podemos encontrar o valor da tangente de outros ângulos.

Gráfico da função tangente

Veja como fica o gráfico da função tangente quando variamos x no intervalo de [0 , 2π].

O gráfico da função tangente é um pouco mais “estranho” mesmo, se comparado com as funções anteriores. Essa linha laranja presente no gráfico recebe o nome de tangentóide e ela continua à direita de 2π e à esquerda de 0 (zero). Através do gráfico podemos perceber duas assíntotas nos arcos de π/2 e 3π/2 indicando que nestes pontos o valor da tangente é indefinido, além disso o período da função tangente é π. Logo:

A função tangente é uma função ímpar

Portanto, tg(-x) = -tg(x).