Para entendermos o conceito de grandezas diretamente proporcionais vamos ver um exemplo:
Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t(em horas) e a distância d(em quilômetros):
Tempo (h)
Distância (km)
0,5
45
1
90
1,5
135
2
180
3
270
4
360
Examinando a tabela, vemos que a grandeza distância depende da grandeza tempo, já que aumentando uma, a outra também aumenta.
0,5
45
=
1
90
=
1,5
135
= … =
1
90
Vamos montar as proporções usando a tabela.
Chamando de d a grandeza distância e de t a grandeza tempo, temos:
t
d
=
1
90
⇒
d = 90t
Dizemos, neste caso, que as sequências de números (1/2, 1, 3/2, 2, 3, 4) e (45, 90, 135, 180, 270, 360) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas d e t são diretamente proporcionais e 1/90 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes às variáveis são expressos por uma função do tipo: y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.
Portanto, as sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são diretamente proporcionais se, e somente se:
a1
b1
=
a2
b2
= … =
an
bn
= k (cte)
Consideremos as sequências de números (2, 4, 12) e (3, 6, 18).
Temos:
2
3
=
4
6
=
12
18
Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais. Multiplicando por 5 os elementos da primeira sequência (5 • 2, 5 • 4 , 5 • 12 ) = (10, 20, 60).
10
3
=
20
6
=
60
18
Ainda assim as sequências continuam sendo proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Para entendermos o conceito de grandezas inversamente proporcionais vamos ver um exemplo:
Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:
Tempo (h)
Velocidade (km/h)
12
100
6
200
4
300
3
400
Veja que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui, ou seja, quanto mais rápido se percorre uma certa distância, menos tempo se gasta. Com base na tabela, vamos montar as proporções abaixo.
12
1
100
=
6
1
200
=
4
1
300
=
3
1
400
As proporções acima são iguais a 1.200.
Podemos dizer que a sequência de números (12, 6, 4, 3) é diretamente proporcional a (1/100, 1/200, 1/300, 1/400). 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:
yx = 1200 ou y = 1200(1/x)
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:
y
=
k
•
1
x
Onde k é um número real constante, diferente de zero.
Portanto, duas sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamente proporcionais se, e somente se:
