Identidade de polinômios
Sejam os polinômios A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x + a0 e B(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … + b2x2 + b1x + b0. A(x) será igual ou idêntico a B(x), ou seja, A(x) ≡ B(x) se todos os coeficientes de A(x) forem iguais aos coeficientes de B(x). Veja o esquema abaixo:
A(x) ≡ B(x)
anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x + a0 ≡ bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … + b2x2 + b1x + b0
A(x) – B(x) ≡ 0
(an – bn)xn + (an – 1 – bn – 1)xn – 1 + (an – 2 – bn – 2)xn – 2 + … + (a2 – b2)x2 + (a1 – b1)x + (a0 – b0) ≡ 0. Logo:
an = bn
an – 1 = bn – 1
an – 2 = bn – 2
a2 = b2
a1 = b1
a0 = b0
Exemplo 1
(EEM-SP) Determine os valores de p e q na identidade: 2x + 13 ≡ p(x + 2) – q(1 – x).
Se 2x + 13 ≡ p(x + 2) – q(1 – x), então os coeficientes do polinômio da esquerda são iguais aos coeficientes do polinômio da direita. Vamos reescrever a expressão.
2x + 13 ≡ px + 2p – q + qx
2x + 13 ≡ px + qx + 2p – q
2x + 13 ≡ (p + q)x + 2p – q
A partir daqui montamos um sistema para facilitar os cálculos.
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Somando as duas equações a variável q irá se anular. Logo:
3p = 15 ⇒ p = 5
substituindo o valor de p na equação p + q = 2 temos:
5 + q = 2 ⇒ q = -3
Solução: p = 5 e q = -3
Exemplo 2
Sabendo que
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+ |
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≡ |
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, calulcar A e B.
Na expressão acima note que x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2), desta forma podemos reescrever a expressão como:
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+ |
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≡ |
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+ |
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≡ |
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A(x – 2) + B(x + 1) ≡ – x + 8
Ax – 2A + Bx + B ≡ – x + 8
Ax + Bx – 2A + B ≡ – x + 8
(A + B)x – 2A + B ≡ – x + 8
Visto que, (A + B)x – 2A + B é idêntico a – x + 8, podemos montar o sistema abaixo:
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Multiplicando a primeira equação por (-1) temos:
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E somando-se as duas equações temos:
– 3A = 9 ⇒ A = -3
Substituindo o valor de A na equação A + B = -1 temos:
-3 + B = -1 ⇒ B = 2
Logo, A = – 3 e B = 2.