Livro de Matemática

As identidades trigonométricas são ferramentas úteis para a simplificação de expressões e equações trigonométricas. Consideremos duas funções f(x) e g(x). As funções f e g formam uma identidade trigonométrica quando f(x) = g(x). Essa identidade é válida para qualquer valor de x, obedecendo a lei que rege o domínio de cada função.
Por exemplo:

f(x) = sen²(x)

g(x) = 1 – cos²(x)

f(x) = g(x)

sen²(x) = 1 – cos²(x) → identidade trigonométrica

A igualdade (identidade) acima é válida para qualquer x real, logo configura uma identidade trigonométrica.

Nosso objetivo com as identidades trigonométricas é provar que são verdadeiras. E elas não virão tão simples quanto o exemplo acima. Para provar uma identidade trigonométrica podemos usar um dos dois artifícios abaixo.

Vamos provar a identidade (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1

1º artifício:

Escolhemos o membro mais complexo da equação e o simplificamos até chegarmos ao outro membro.
No exemplo acima o membro mais complexo é (1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)). Portanto, vamos simplificá-lo até encontrarmos 1, que é o segundo membro.

(1 + cotg²(x))(1 – cos²(x)) = 1

Sabemos da relação fundamental I que sen²(x) + cos²(x) = 1.

1 = 1 → demonstrada a identidade

2º artifício:

Vamos provar a identidade

Vamos inicialmente, atribuir cada membro a identidade a uma função.

Agora escolhemos a função mais simples e a simplificamos.

Atribuimos a simplificação à função h(x).

h(x) = sen x • cos x

Agora devemos manipular a função f(x) de modo a chegar em h(x).

Já sabemos que cos² x + sen² x = 1.

Ficamos com sen x • cos x, que foi a expressão atribuída a h(x). Logo, f(x) = h(x), assim como g(x) = h(x). Finalmente, tem-se que f(x) = g(x), provando a identidade.