Porém, nem sempre obtemos um valor aceitável quando realizamos a substituição de x por a. Pode ocorrer de nos depararmos com valores indeterminados, que, nesse contexto, são os seguintes:
0
0
;
0•(±∞)
;
±∞
±∞
;
∞ – ∞
00; 1∞ e ∞0
Para encontrarmos de forma correta o limite procurado será necessário o uso de simplificações ou algebrismos para eliminarmos a indeterminação.
Exemplo 1
Encontre o limite das funções abaixo:
a)
lim
x² – 4
x – 2
x→2
b)
lim
√(x + 2) – √2
x
x→0
c)
lim
x³ – 4x² – 7x + 10
x² + 2x – 3
x→1
d)
lim
(x + 2)² – 4
x
x→0
a)
lim
x² – 4
x – 2
x→2
lim
2² – 4
2 – 2
=
0
0
x→2
Nos deparamos com uma indeterminação. Para eliminarmos este problema vamos analisar a função racional. O denominador e o numerador são dois polinômios. Usando o método da fatoração chegamos ao seguinte resultado:
lim
x² – 4
x – 2
=
(x + 2)(x – 2)
x – 2
x→2
O que resulta em:
lim
x + 2
=
4
x→2
b)
lim
√(x + 2) – √2
x
x→0
lim
√(0 + 2) – √2
0
x→0
lim
√2 – √2
0
=
0
0
x→0
Para levantarmos a indeterminação vamos multiplicar numerador e denominador por √(x + 2) + √2, ou conjugado, obtendo:
√(x + 2) – √2
•
√(x + 2) + √2
x
√(x + 2) + √2
x + 2 – 2
=
x
x(√(x + 2) + √2)
x(√(x + 2) + √2)
1
√(x + 2) + √2
Agora calculamos o limite
lim
1
√(x + 2) + √2
x→0
lim
1
√(0 + 2) + √2
=
1
2 √2
=
√2
4
x→0
c)
lim
x³ – 4x² – 7x + 10
x² + 2x – 3
x→1
lim
(1)³ – 4(1)² – 7(1) + 10
(1)² + 2(1) – 3
=
0
0
x→1
A(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 e B(x) = x² + 2x – 3 são polinômios. Estes retornaram zero quando a variável x foi substituída por 1. Pelo teorema do resto, isso quer dizer que tanto A(x) quanto B(x) são divisíveis por (x – 1). Portanto:
