Livro de Matemática

Integrais simples – Diretas da tabela (II)

Os exemplos dessa seção são um pouco mais elaborados e exigem mais do seu raciocínio para resolvê-los. Em alguns momentos será necessário escrevermos as funções de uma outra forma com a finalidade de facilitar a resolução.

Exemplo 1

∫   √x dx
 
 

Vamos reescrever a integral como:

∫   x½ dx
 
 

Agora aplicamos a regra

∫   xn dx =
xn + 1
n + 1
+ C
 
 
∫   x½ dx =
x½ + 1
½ + 1
+ C
 
 
∫   x½ dx =
x3/2
3/2
+ C
 
 
∫   x½ dx =
2x3/2
3
+ C
 
 

Exemplo 2

∫   (3 + x)² dx
 
 

Para resolvermos esta integral vamos inicialmente, desenvolvermos o termo (3 + x)².
(3 + x)² = (x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3² = x² + 6x + 9. Colocamos o termo desenvolvido na integral.

∫   x² + 6x + 9 dx
 
 
x³
3
+ 6
x²
2
+ 9x + C
x³
3
+ 3x² + 9x + C

Exemplo 3

∫  
5x – 9x5
x²
dx
 
 

Vamos reescrever a integral.

∫  
5x
x²
–
9x5
x²
dx
 
 
∫  
5
x
– 9x³ dx
 
 
∫  
5
x
dx – ∫   9x³dx
   
   
5 ∫  
1
x
dx – 9 ∫   x³dx
   
   
5ln|x| – 9
x4
4
+ C

Exemplo 4

∫   3√
5
x²
+ cox dx
 
 

Vamos reescrever a integral.

∫  
51/3
(x²)1/3
+ cox dx
 
 
∫  
51/3
x2/3
dx + ∫   cosx dx
   
   
∫   51/3 * x-2/3 dx + ∫   cosx dx
   
   
3√5 ∫   x-2/3 dx + ∫   cosx dx
   
   
3√5
x-2/3 + 1
-2/3 + 1
+ sen x + C
3√5
x1/3
1/3
+ sen x + C
33√5 3√x + sen x + C

Exemplo 5

∫   √x( x   –  
5
x
)dx
 
 

Devemos escrever a integral acima de forma que encontremos na tabela de integrais uma regra para resolvê-la.

∫   x½(x – 5x-1) dx
 
 
∫   x3/2 – 5x-1/2 dx
 
 
∫   x3/2 dx – ∫   5x-1/2 dx
   
   
∫   x3/2 dx – 5 ∫   x-1/2 dx
   
   
x3/2 + 1
3/2 + 1
– 5
x-1/2 + 1
-1/2 + 1
+ C
x5/2
5/2
– 5
x1/2
1/2
+ C
2x5/2
5
– 10 x1/2 + C

Exemplo 6

∫  
x – 4
π
dx
 
 
∫  
x
π
–
4
π
dx
 
 
∫  
1
π
x –
4
π
dx
 
 
∫  
1
π
x dx – ∫  
4
π
dx
   
   
1
π
∫   x dx –
4
π
∫   dx
   
   
1
π
x²
2
–
4
π
x + C
x²
2π
–
4x
π
+ C