Juros compostos
Para entendermos o conceito de Juros compostos, vamos analisar a situação onde um capital de R$3.000,00 é aplicado por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a.
Após o 1º ano
Quanto rendeu de juro?
J = C • i • n
O valor de n será sempre igual a 1, pois estamos calculando ano a ano. Portanto, podemos considerar a fórmula como J = C • i.
J = 3000 • 0,12 = 360
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 3000 + 360 = 3.360
Após o 2º ano
Quanto rendeu de juro?
Nesse momento o capital não será mais de R$3.000,00, mas o montante de R$ 3.360,00. Esse será meu novo capital.
J = 3.360 • 0,12 = 403,20
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 3.360 + 403,20 = 3.763,20
Após o 3º ano
Quanto rendeu de juro?
Da mesma forma que ocorreu no período anterior o capital neste momento será o montante do período anterior, ou seja, R$ 3.763,20.
J = 3.763,20 • 0,12 = 451,58
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 3.763,20 + 451,58 = 4.214,78
Após o 4º ano
Quanto rendeu de juro?
Obedecendo ao padrão anterior escrevemos:
J = 4.214,78 • 0,12 = 505,77
Qual o valor do montante?
M = C + J
M = 4.214,78 + 505,77 = 4.720,56
Veja o esquema da aplicação representado na tabela abaixo:
| Período | Capital | Juros | Montante |
|---|---|---|---|
| 0 | 3.000,00 | – | 3.000,00 |
| 1 | 3.000,00 | 360,00 | 3.360,00 |
| 2 | 3.360,00 | 403,20 | 3.763,20 |
| 3 | 3.763,20 | 451,58 | 4.214,78 |
| 4 | 4.214,78 | 505,77 | 4.720,56 |
Perceba que neste regime de capitalização, o juro a partir do segundo período é calculado sobre o montante do período anterior.
Juro composto é aquele em que cada período de aplicação, a partir do segundo, é calculado sobre o montante do período anterior.
Você pôde notar no exemplo anterior que se torna trabalhoso executar todos aqueles passos. Por isso, vamos deduzir uma fórmula com o finalidade de agilizar os cálculos.
1º Período
J1 = C • i
M1 = C + J1 = C + C • i = C(1 + i)
2º Período
J2 = M1 • i =
M2 = M1 + J2 = M1 + M1 • i = M1(1 + i)
Do 1° período temos que M1 = C(1 + i)
M2 = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)²
3º Período
J3 = M2 • i =
M3 = M2 + J3 = M2 + M2 • i = M2(1 + i)
Do 2° período temos que M2 = C(1 + i)²
M3 = C(1 + i)²(1 + i) = C(1 + i)³
Portanto, ao repetirmos o processo para n períodos temos:
Sendo:
M = Montante
C = Capital
i = Taxa de juro
n = O tempo de aplicação
Resolvendo o problema anterior usando a fórmula ficaria assim:
M = C(1 + i)n
M = 3.000(1 + 0,12)4
M = 4.720,56
Com a fórmula deduzida ficou fácil, né?
Exemplo 1
Calcule o capital que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00.
Dados do problema:
Capital: ?
Taxa: 3% a.m.
Período: 5 meses
Montante: 4.058
Aplicando a fórmula temos:
M = C(1 + i)n
4.058 = C(1 + 0,03)5
| C | = |
|
= | 3.500 |
Logo, o capital procurado é de R$3.500,00.
Exemplo 2
A que taxa mensal de juros compostos, um capital de R$12.500,00 pode transformar-se em R$15.373,42, no período de 7 meses?
Dados do problema:
Capital: 12.500
Taxa: x% a.m.
Período: 7 meses
Montante: 15.373,42
Aplicando a fórmula temos:
M = C(1 + i)n
15.373,42 = 12.500(1 + i)7
|
= | (1 + i)7 |
(1.2298736)1/7 = 1 + i
i = 1.029999968 – 1
i = 0,029999968 → ≅ 0,03 ou 3% a.m.
Exemplo 3
Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 pode ser pago pela quantia de R$47.900,00, se a taxa de juros cobrada for de 4%a.m.?
Dados do problema:
Capital: 35.000
Taxa: 4% a.m.
Período: x meses
Montante: 47.900
Aplicando a fórmula temos:
M = C(1 + i)n
47.900 = 35.000(1 + 0,04)n
|
= | (1,04)n |
Para encontrarmos o valor de n faremos uso dos logaritmos.
ln(47.900/35.000) = ln(1,04)n
ln(47.900/35.000) = n • ln(1,04)
| n | = |
|
= | 8 |
Portanto, o prazo para o empréstimo ser pago é de 8 meses.
Exemplo 4
Quanto Fabrício deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma instituição financeira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar uma dívida de R$38.000,00 que vence daqui a 3 meses?
Fabrício possui uma dívida no valor de R$38.000,00 que vence daqui a 3 meses. Visto que, ele não possui este dinheiro ele quer saber quanto deve aplicar agora para daqui 3 meses ter como pagar esta dívida.
Portanto, qual o capital que aplicado a uma taxa de 1,2%a.m. durante 3 meses produz um montante de R$38.000,00? Veja como a situação que acabamos de montar resolve o problema do Fabrício.
Dados do problema:
Capital: C
Taxa: 1,2% a.m.
Período: 3 meses
Montante: 38.000
M = C(1 + i)n
38.000 = C(1 + 0,012)3
38.000 = C(1,012)3
C = 38.000 ÷ (1,012)3
C = 36.664,19
Portanto, Fabrício deverá depositar hoje o valor de R$36.664,19 para daqui 3 meses pagar sua dívida.
Taxas equivalentes
Do regime de Juros simples, vimos que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro. No caso do regime de Juros compostos, duas taxas serão equivalentes quando produzirem o mesmo montante se aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período.
Vamos deduzir a fórmula abaixo:
M1 = C(1 + i1)n1
M2 = C(1 + i2)n2
Se a taxa i1 for equivalente a i2, então M1 = M2
C(1 + i1)n1 = C(1 + i2)n2
(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2
(1 + i1) = (1 + i2)n2/n1
i1 = (1 + i2)n2/n1 – 1
Onde:
id = taxa diária
im = taxa mensal
it = taxa trimestral
iq = taxa quadrimestral
is = taxa semestral
ia = taxa anual
Exemplo 1
Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?
1 + ia = (1 + it)4
1 + 0,3 = (1 + it)4
(1,3)1/4 = 1 + it
it = (1,3)1/4 – 1
it = 0.067789972 → 6,78% a.t.
Exemplo 2
Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de juros compostos de 8% ao ano.
1 + ia = (1 + iq)3
1 + 0,08 = (1 + iq)3
(1,08)1/3 = 1 + iq
iq = (1,08)1/3 – 1
iq = 0.025985568 → 2,6% a.q.
Exemplo 3
O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante?
Dados do problema:
C = 9.200
i = 36% a.a.
n = 1 ano e 9 meses = 21 meses
M = ?
Note que a taxa está ao ano e o período em meses. Devemos ter ambos na mesma unidade de tempo. Portanto, qual é a taxa mensal equivalente a 36% a.a.?
1 + ia = (1 + im)12
1 + 0,36 = (1 + im)12
(1,36)1/12 = 1 + im
im = (1,36)1/12 – 1
im = 0,025954834 → 2,59% a.m.
Agora aplicamos a fórmula fundamental do montante.
M = C(1 + i)n
M = 9.200(1 + 0,025954834)21
M = 15.757,30
Ao final do período o montante será de R$ 15.757,30.
Taxa nominal e taxa efetiva
A taxa nominal é aquela cujo período de capitalização (quando o juros são incorporados ao principal) não coincide com aquele a que ela se refere.
Veja alguns exemplos:
Taxa nominal de 48% ao ano capitalizada mensalmente.
Juros de 36% ao ano capitalizados semestralmente.
Taxa de 6%a.t. capitalizada mensalmente.
Nos três casos acima, o período da taxa é diferente do período de capitalização. Por exemplo: a taxa de 48%a.a. ao invés de ser capitalizada um só vez por ano, será capitalizada 12 vezes, ou seja, a cada mês os juros serão incorporados ao capital. Da mesma forma, a taxa de 6%a.t. será capitalizada três vezes no período informado e não apenas uma vez após 3 meses.
Por convenção, a taxa por período de capitalização é proporcional à taxa nominal.
Na taxa efetiva o período de capitalização é igual ao período informado pela taxa. E é esta a taxa cobrada nas transações financeiras. Além disso ela é maior do que a taxa nominal. Para melhorar sua compreensão vamos analisar o seguinte cenário:
Uma empresa adquiriu um empréstimo de R$ 30.000,00 a ser quitado em um único pagamento de R$ 38.000,00 daqui um mês. No ato da contratação foi paga uma taxa de serviço de 5% sobre o valor do empréstimo.
Note duas coisas que ficam evidentes: primeiro o valor de R$ 30.000,00 tomado emprestado e, segundo, a taxa de 5% cobrada.
M = C(1 + i)n
38.000 = 30.000(1 + i) → como o período é de um mês, logo n = 1.
(38 ÷ 30) – 1 = i
i = 26,67% a.m. → taxa nominal mensal
Agora note como valor da taxa muda quando acrescentamos a taxa de serviço cobrada pela instituição financeira.
Valor realmente contratado = 30.000 – (0,05 • 30.000) = 28.500
M = C(1 + i)n
38.000 = 28.500(1 + i)
(380 ÷ 285) – 1 = i
i = 33,33% a.m. → taxa efetiva mensal
Portanto, a taxa efetiva é aquela calculada sobre o valor efetivamente aplicado ou tomado emprestado.
Exemplo 1
Qual é o valor de resgate de um capital de R$ 200 aplicado pelos seguintes prazos e taxas:
a) 27 dias a 9% a.m. capitalizados diariamente?
b) 6 meses a 28% a.a. capitalizados mensalmente?
a) 27 dias a 9% a.m. capitalizados diariamente?
Dados do problema:
C = 200
i = 9% a.m./a.d
n = 27 dias
M = ?
Devemos ter taxa i e período n na mesma unidade de tempo. Vamos encontrar o valor da taxa diária.
i = 0,09 ÷ 30 = 0,003 a.d.
M = C(1 + i)n
M = 200(1 + 0,003)27
M = 216,85
b) 6 meses a 28% a.a. capitalizados mensalmente?
Dados do problema:
C = 200
i = 28% a.a./a.m
n = 6 meses
M = ?
Devemos ter taxa i e período n na mesma unidade de tempo. Vamos encontrar o valor da taxa mensal.
i = 0,28 ÷ 12 = 0,0233333… a.m.
M = C(1 + i)n
M = 200(1 + 0,023333…)6
M = 229,69
Convenção exponencial e linear
Imagine a seguinte situação:
Josué investiu R$.2000,00 a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante após este período?
Vamos recolher os dados do problema:
Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
Montante = ?
Note que o período financeiro não é inteiro. Neste caso admitem-se duas alternativas de cálculo: convenção exponencial e convenção linear.
Convenção exponencial
Nesta modalidade, o montante é calculado a juros compostos durante todo o período (parte inteira + fracionária).
Onde n reprenta a parte inteira do período e p/q a parte fracionária.
Convenção linear
Nesta modalidade, o montante é calculado a juros compostos durante a parte inteira do período e a juros simples durante o período fracionário.
Onde n reprenta a parte inteira do período e p/q a parte fracionária.
Exemplo 1
Josué investiu R$.2000,00 a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções exponencial e linear?
Dados do problema:
Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
Montante = ?
Pela convenção exponencial
M = C(1 + i)n + p/q
M = 2.000(1 + 0,06)4 + 15/30
M = 2.000(1 + 0,06)4 + 1/2
M = 2.000(1 + 0,06)9/2
M = 2.599,60
Um outra maneira de resolver (não usando as convenções) seria tornar todo o período em dias e transformar a taxa mensal para diária.
Dados do problema:
Capital = 2.000
Período = 4 meses e 15 dias → 120 dias + 15 dias = 135 dias
Taxa de juros = 6% a.m.
→ (1 + id)360 = (1 + im)12
→ (1 + id)360 = (1 + 0,06)12
→ id = (1,06)12/360 – 1
→ id = (1,06)1/30 – 1
Montante = ?
M = C(1 + i)n
M = 2.000(1 + (1,06)1/30)135
M = 2.599,60
Exemplo 2
Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de 47% a.a., em 4 anos e 3 meses pela convenção exponencial?
Dados do problema:
Capital = 3.000
Período = 4 ano e 3 meses
Taxa de juros = 47% a.a.
Montante = ?
M = C(1 + i)n + p/q
M = 3.000(1 + 0,47)4 + 3/12
M = 3.000(1 + 0,47)4 + 1/4
M = 3.000(1 + 0,47)17/4
M = 15.424,81
Exemplo 3
Para um capital de R$25.000,00, aplicado durante 77 dias a juros de 5% a.m., calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial.
Dados do problema:
Capital = 25.000
Período = 77 dias → 2 meses e 17 dias
Taxa de juros = 5% a.m.
Montante = ?
Pela convenção exponencial
M = C(1 + i)n + p/q
M = 25.000(1 + 0,05)2 + 17/30
M = 25.000(1 + 0,05)77/30
M = 28.335,17
Pela convenção linear
M = C(1 + i)n • (1 + p/qi)
M = 25.000(1 + 0,05)2 • (1 + 17/30(0,05))
M = 28.343,44
Taxa real e taxa aparente
Vamos analisar o rendimento de um capital C em alguns cenários hipotéticos.
• Com um taxa de inflação nula e uma taxa de juros ir o capital C inicial se transformará, ao final de um período, em : C(1 + ir)
• Com uma taxa de inflação I, o capital C inicial, ao final de um período, equivalerá a: C(1 + I)
• Com uma taxa de juros ir e uma taxa de inflação I, simultaneamente, o capital C inicial equivalerá a: C(1 + ir)(1 + I)
• Com uma taxa aparente i, o capital C inicial se transformará, ao final dde um período, em: C(1 + i)
A taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes e é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real. Portanto:
C(1 + i) = C(1 + ir)(1 + I)
Onde:
i = taxa aparente
ir = taxa real
I = taxa de inflação