Juros simples
Conceitos iniciais
Vamos imaginar a seguinte situação: “Caio toma emprestado de André uma importância de R$3.000,00. Após três meses Caio quitou sua dívida pagando a André um total de R$ 3.108,00”.
Analisando a situação anterior podemos retirar alguns conceitos essenciais para o entendimento não só de juros simples como para aplicações financeiras de modo geral. A importância que Caio tomou emprestado é chamada de Capital, já a dívida quitada no final do período recebe o nome de Montante. Note que Caio ficou com o dinheiro por três meses, este é o Período. Caio tomou emprestado R$ 3.000,00 e devolveu R$ 3.108,00. Note que Caio pagou os R$ 3.000,00 que tomou emprestado e além disso pagou R$108,00 a mais. Esse valor adicional recebe o nome Juros. Neste exemplo o valor de R$108,00 funciona como um aluguel pago pelo tempo que Caio ficou com o dinheiro. Do referido problema podemos calcular a taxa de juros da operação.
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= 0,036 ou 3,6% a.t. |
Veja que a taxa de juros está ao trimestre. No exemplo, Caio permaneceu com o dinheiro por três meses. Neste caso dividimos o valor da taxa encontrada por 3 → 0,036 ÷ 3 = 0,012. Portanto, a taxa de juros mensal da aplicação foi de 1,2% a.m.
Para entendermos o conceito de Juros Simples, vamos analisar a situação onde um capital de R$3.000,00 é aplicado por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. Abaixo foi montada uma tabela que apresenta as correções financeiras ano a ano.
| Período | Capital | Juros | Montante |
|---|---|---|---|
| 0 | 3.000,00 | – | 3.000,00 |
| 1 | 3.000,00 | 360,00 | 3.360,00 |
| 2 | 3.000,00 | 360,00 | 3.720,00 |
| 3 | 3.000,00 | 360,00 | 4.080,00 |
| 4 | 3.000,00 | 360,00 | 4.440,00 |
Note duas coisas importantes que permanecem fixas na tabela acima. Tanto o capital quanto o valor dos juros não muda. Permanecem fixos durante todo o período da operação. No regime de capitalização de Juros Simples os juros são calculados sempre sobre o capital inicial, que neste caso vale R$ 3.000,00.
As situações problema envolvendo Juros Simples podem ser modeladas através da fórmula:
Sendo:
J = Juros
C = Capital
i = Taxa de juro
n = O tempo de aplicação
Resolvendo o problema anterior usando a fórmula ficaria assim:
J = C • i • n
J = 3.000 • 0,12 • 4
J = 1.440
Portanto, após 4 anos o capital aplicado gerou R$1.440,00 de juros. É equivalente a soma dos valores da coluna Juros na tabela acima ou 4 x 360. Ao final dos 4 anos o aplicador retirou a importância de R$ 4.440,00. Este valor é o resultado da soma (3.000 + 1.440), ou seja, (capital + juros).
Logo, temos que:
Sendo:
M = Montante
C = Capital
J = Juros
Da fórmula dos Juros Simples obtemos que J = C • i • n. Portanto, podemos escrever:
M = C + C • i • n
Colocando C em evidência vem:
Exemplo 1
Qual o rendimento de uma aplicação de R$ 50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.?
Vamos anotar os dados do problema.
J = ?
C = 50.000
i = 6% a.t.
n = 3 anos
Note que a taxa i e o período n estão em unidades diferentes. Quando formos realizar os cálculos a taxa e o período deverão estar na mesma unidade.
1 ano possui 4 trimestres, logo 3 anos possui 12 trimestres.
Aplicando a fórmula, vem:
J = C • i • n
J = 50.000 • 0,06 • 12
J = 36.000
Portanto, o rendimento da aplicação é de R$ 36.000,00.
Exemplo 2
Duas pessoas têm juntas R$ 261.640,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?
Vamos anotar os dados do problema.
CA = Capital da pessoa A
CB = Capital da pessoa B
CT = Capital Total (CA + CB = R$ 261.640,00)
i = 40% a.a.
n = 2 anos
JT = CT • i • n
JT = 261.640 • 0,4 • 2
JT = 209.312
Do problema obtivemos a informação de que a pessoa A recebeu R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda.
JA + JB = 209.312
(JB + 69.738) + JB = 209.312
2 • JB + 69.738 = 209.312
2 • JB = 139.574
JB = 139.574 ÷ 2
JB = 69.787
Como JA = JB + 69.738
JA = 69.787 + 69.738 = 139.525
Temos então:
JA = 139.525
JB = 69.787
Agora vamos calcular o capital sobre esses juros.
JA = CA • i • n
139.525 = CA • 0,4 • 2
CA = 139.525 ÷ 0,8
CA = 174.406,25
Portanto, o capital investido por A foi de R$ 174.406,25.
JB = CB • i • n
69.787 = CB • 0,4 • 2
CB = 69.787 ÷ 0,8
CB = 87.233,75
Portanto, o capital investido por B foi de R$ 87.233,75.
Somando estes dois capitais 174.406,25 + 87.233,75 chegamos a 261.640.
Taxas Proporcionais
Duas taxas são ditas proporcionais quando formam uma proporção com os períodos a elas referidos. Lembre-se de que os períodos deverão estar na mesma unidade.
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= |
|
Exemplo 1
Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
Dados do problema:
i1 = 30% ao ano
i2 = x% ao mês
n1 = (1 ano) 12 meses
n2 = 1 mês
Agora montamos a proporção.
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= |
|
|
= |
|
Multiplicando cruzado fica:
12x = 30
x = 30 ÷ 12
x = 2,5
Portanto, 30% a.a. é proporcional a 2,5% a.m.
Exemplo 2
Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.
Dados do problema:
i1 = 8% ao trimestre
i2 = x% ao ano
n1 = 1 trimestre
n2 = 4 trimestres
Agora montamos a proporção.
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= |
|
|
= |
|
Multiplicando cruzado fica:
x = 8 • 4
x = 32
Portanto, 8% a.t. é proporcional a 32% a.a.
Exemplo 3
Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.
Dados do problema:
i1 = 0,08% ao dia
i2 = x% ao mês
n1 = 1 dia
n2 = 30 dias
Agora montamos a proporção.
|
= |
|
|
= |
|
Multiplicando cruzado fica:
x = 0,08 • 30
x = 2,4
Portanto, 0,08% a.d. é proporcional a 2,4% a.m.
Taxas equivalentes
Para entendermos o conceito de taxas equivalentes vamos ver um exemplo.
Veja o valor de juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00:
• aplicado à uma taxa de 4%a.m., durante 6 meses;
J = C • i • n
J = 2.000 • 0,04 • 6
J = 480
• aplicado à uma taxa e 12%a.t., durante 2 trimestres.
J = C • i • n
J = 2.000 • 0,12 • 2
J = 480
Veja que o valor dos juros é o mesmo. Portanto, podemos dizer que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro.
Logo, podemos dizer que 4% a.m. é equivalente a 12% a.t.
No regime de juros simples duas taxas equivalentes são proporcionais.
Juros simples exatos
Nessa modalidade o juro é calculado levando-se em conta os seguintes critérios:
• O prazo é contato em dias;
• O mês = número real de dias conforme o calendário;
• O ano civil possui 365 dias ou 366 quando for bissexto.
Como obter o número exato de dias entre duas datas?
1° – podemos contar diretamente num calendário.
2° – podemos considerar o número exato de dias de cada mês.
31 dias: janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro.
30 dias: abril, junho, setembro, novembro.
28 ou 29 dias: fevereiro.
Quantos dias há entre 15/06/2020 a 21/08/2020?
Vamos dividir esta tarefa em etapas:
15/06/2020 a 15/07/2020 → 30 dias
15/07/2020 a 15/08/2020 → 31 dias
15/08/2020 a 21/08/2020 → 6 dias
Logo:
15 de junho a 21 de agosto: 30 + 31 + 6 = 67 dias
3º – pelo uso da tabela para contagem de dias (acesse aqui).
Quantos dias há entre 15/06/2020 a 21/08/2020?
Primeiro localizamos a interseção entre a linha 21 e a coluna agosto. Anotamos o número encontrado (233).
Segundo localizamos a interseção entre a linha 15 e a coluna junho. Anotamos o número encontrado (166).
Agora subtraimos: 233 – 166 = 67 dias
Exemplo 1
Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?
Dados do problema:
Capital: 8.500,00
Taxa: 45%(0,45) a.a.
Período: 20/07 a 25/11 (329 – 201 = 128 dias)
Consulta realizada na tabela de contagem de dias.
Note que o período está em dias e a taxa em ano. Devemos ter ambos na mesma unidade. Vamos obter a taxa ao dia.
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= |
|
Logo, a taxa será 0,45 ÷ 360 = 0,00125.
Aplicando a fórmula dos juros simples, vem:
J = C • i • n
J = 8.500 • 0,00125 • 128
J = 1.360,00
Portanto, o juro a ser pago é de R$ 1.360,00.
Exemplo 2
Encontre os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril de 2003 a 1º de julho de 2003.
Dados do problema:
Capital: 15.000,00
Taxa: 16%(0,16) a.a.
Período: 20/03 a 01/07 (182 – 110 = 72 dias)
Consulta realizada na tabela de contagem de dias.
Novamente percebemos que a taxa está em ano e o período em dias. Devemos ter ambas na mesma unidade.
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= |
|
A taxa diária será 0,16 ÷ 365. Este valor é um pouco grande e será omitido aqui.
Aplicando a fórmula dos juros simples, vem:
J = C • i • n
J = 15.000 • (0,16 ÷ 365) • 72
J = 473,42
Portanto, o juro auferido é de R$ 473,42.
Exemplo 3
A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00?
Dados do problema:
Capital: 66.000,00
Taxa: x% a.m.
Período: 3 meses e 10 dias
Juro: 11.000,00
O problema pede a taxa mensal. Temos o período fracionário. Devemos tornar todo o período como mensal.
3 meses inteiros + (10 dias ÷ 30 dias)
| 3 + |
|
| 3 + |
|
meses |
Pronto, agora é só aplicar a fórmula dos juros simples.
J = C • i • n
11.000 = 66.000 • i • (3 + 1/3)
11 = 66i(3 + 1/3)
11 = 198i + 22i
11 = 220i
i = 0,05
Portanto, a taxa é de 5% a.m.
Juros simples comercial
Esta modalidade é bastante simples. Aqui consideramos o mês com 30 dias e o ano civil com 360 dias. Simples assim.
Exemplo 1
Qual o juro simples comercial de uma aplicação de R$66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% a.m.?
Dados do problema:
Capital: 66.000,00
Taxa: 2,2% a.m.
Período: 1 ano e 2 meses
Juro: ?
J = C • i • n
J = 66.000 • 0,022 • 14
J = 20.328
Logo, o valor do juro procurado é R$ 20.328,00.
Exemplo 2
Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 3 meses à taxa de 3%a.m., rendeu R$900,00?
Dados do problema:
Capital: ?
Taxa: 3% a.m.
Período: 1 ano e 3 meses
Juro: 900,00
J = C • i • n
900 = C • 0,03 • 15
C = 900 ÷ 0,45
C = 2000
Portanto, o valor do capital é R$ 2.000,00.
Exemplo 3
Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?
Vamos simular a aplicação através da tabela abaixo:
| n | C | i | J | M |
|---|---|---|---|---|
| 1 | C | i | 0 | C |
| 2 | C | i | J | C + J |
| … | … | … | … | … |
| 8 | C | i | J | 2C |
No início da aplicação não incorrem juros, portanto o montante é igual ao capital. Após 1 ano já passam a incorrer juros e o montante no final de 1 ano de aplicação é igual ao capital adicionado aos juros (M = C + J). No final da aplicação, ou seja, 8 anos depois o capital foi duplicado (2C).
M = C + J
2C = C + (C • i • n)
2C = C(1 + i • n)
Note que temos a variável C em ambos os lado da equação e podemos eliminá-la.
2 = (1 + i • n)
2 – 1 = i • n
1 = i • n
1 = i • 8
i = 1 ÷ 8 → 0,125 ou 12,5%a.a.
Portanto, o capital foi empregado a uma taxa de 12,5% a.a.