Considere um número real a. O inverso de a é a-1 ou 1/a.
Quando multiplicamos a por a-1 obtemos como resultado 1, ou seja, a * 1/a = 1.
Vejamos como isso se aplica no caso das matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B tal que A*B = B*A = In, dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A e indicamos por A-1.
Exemplo
Determinar a inversa da matriz
A =
10
2
4
1
Para isso fazemos
A-1 =
a
b
c
d
Sabemos que A * A-1 = I2. Logo temos:
10
2
4
1
*
a
b
c
d
=
1
0
0
1
10a + 2c
10b + 2d
4a + c
4b + d
=
1
0
0
1
Primeiro sistema:
{
10a + 2c
= 1
4a + c
= 0
Para resolvermos o sistema acima multiplicamos a segunda linha do sistema 4a + c por -2.
{
10a + 2c
= 1
-8a – 2c
= 0
Ao somarmos as duas linhas do sistema, ficamos com:
2a = 1
a = 1/2.
Agora, substituímos o valor de a em uma das linhas do sistema original. A linha escolhida será a segunda 4a + c = 0.
4(1/2) + c = 0
2 + c = 0
c = -2.
A solução do primeiro sistema é S = {1/2, -2}.
Segundo sistema:
{
10b + 2d
= 0
4b + d
= 1
A solução deste sistema é similar ao primeiro. Devemos multiplicar a segunda linha 4b + d = 1 por -2, ficando o sistema assim:
{
10b + 2d
= 0
-8b – 2d
= -2
Somando as duas linhas do sistema, temos:
2b = -2
b = -1
Novamente, substituímos o valor de b numa das linhas do sistema original. A linha escolhida será 4b + d = 1. Logo:
4(-1) + d = 1
-4 + d = 1
d = 1 + 4
d = 5
A solução deste sistema é S = {-1,5}
Note que as soluções encontradas são os elementos da matriz inversa.
