Livro de Matemática

Métodos de integração

Há casos em que não é possível resolvermos uma integral imediatamente, simplesmente verificando na tabela de integrais. É necessário fazermos algumas manipulações. A primeira técnica que veremos é conhecida como Integração por Substituição.

Integração por substituição

Exemplo 1

Resolva:

∫   √(2x + 1)dx
 
 

Vamos reescrever a integral.

∫   (2x + 1)½dx
 
 

Note que se o expoente fosse 2 bastaria desenvolver o termo (2x + 1). Portanto, iremos realizar uma mudança de variável.

u(x) = 2x + 1
Agora vamos derivar u(x).

du
dx
= (2x)’ + (1)’
du
dx
= 2

du = 2dx

dx =
du
2

Fazemos a substituição na integral.

∫   (2x + 1)½dx
 
 

Esta é a integral na variável x.

∫   (u)½
du
2
 
 

Esta é a integral na variável u. Resolvendo em u, teremos:

1
2
∫   (u)½ du
 
 
1
2
u½ + 1
½ + 1
+ C
1
2
u3/2
3/2
+ C
1
2
u3/2
2
3
+ C
u3/2
3
+ C

Devemos retornar para a variável x. Visto que u(x) = 2x + 1, tem-se:

(2x + 1)3/2
3
+ C

Exemplo 2

Resolva:

∫  
3x²
1 + x³
dx
 
 

Fazendo u = 1 + x³, logo du = 3x²dx

∫  
du
u
 
 

Consultando a tabela de integrais encontraremos a regra

∫  
dx
x
= ln|x| + C
 
 
∫  
du
u
= ln|u| + C
 
 

Retornando para a variável x tem-se:

∫  
3x²
1 + x³
dx = ln|1 + x³| + C
 
 

Exemplo 3

Resolva:

∫  
5x³
(2x4 – 1)7
dx
 
 
5 ∫  
x³dx
(2x4 – 1)7
 
 

u = 2x4 – 1
du = 8x³dx

x³dx =
du
8
5 ∫  
du
8
(u)7
 
 
5 ∫  
du
8(u)7
 
 
5
8
∫  
du
(u)7
 
 
5
8
∫   u-7du
 
 
5
8
u-7 + 1
-7 + 1
+ C
5
8
u-6
-6
+ C
-5
48u6
+ C

Retornando para a variável x tem-se:

-5
48(2x4 – 1)6
+ C

Exemplo 4

Resolva:

∫  
8x
√(3x² + 5)
dx
 
 
8 ∫  
x
√(3x² + 5)
dx
 
 

u = 3x² + 5
du = 6xdx

xdx =
du
6
8 ∫  
du
6
(u)½
dx
 
 
8 ∫  
du
6(u)½
 
 
8
6
∫  
du
(u)½
 
 
4
3
∫   u-1/2 du
 
 
4
3
u-1/2 + 1
-1/2 + 1
+ C
4
3
u½
½
+ C
8
3
u½ + C
8
3
(3x² + 5)½ + C

Exemplo 5

Resolva:

∫   xcos x² dx
 
 

Exemplo 6

Resolva:

∫   sen(7x + π)dx
 
 

Exemplo 7

Resolva:

∫   sen(e-2x + x³)dx
 
 

Exemplo 8

Resolva:

∫  
dx
x² + 4x + 11
 
 

Integração por partes

Este método de integração é útil quando se deseja integrar o produto de duas funções.
Sejam as funções f(x) e g(x). Vamos seguir o raciocínio abaixo a fim de deduzirmos o método de integração por partes.

[f(x)•g(x)]’ = f(x)•g'(x) + g(x)•f'(x)
f(x)•g'(x) = [f(x)•g(x)]’ – g(x)•f'(x)

Integrando ambos os lados da igualdade obtém-se: ∫f(x)•g'(x)dx = ∫[f(x)•g(x)]’dx – ∫g(x)•f'(x)dx
∫f(x)•g'(x)dx = f(x)•g(x) – ∫g(x)•f'(x)dx

Para facilitar a visualização chamamos f(x) de u e g(x) de v.

∫   udv = uv – ∫   vdu
   
   

Para facilitar o entendimento vamos aplicar essa fórmula em alguns exemplos.

Exemplo 1

Encontre:

∫   xex dx
 
 

A escolha de u e v deve ser feita de modo a facilitar a resolução da integral.

u = x → du = (x)’dx → du = dx
dv = ex dx

v = ∫   dv
 
 
v = ∫   ex dx = ex + C
 
 

Agora aplicamos o que encontramos na fórmula.

∫   udv = uv – ∫   vdu
   
   
∫   xexdx = xex – ∫   exdx
   
   
∫   xexdx = xex – ex + C
 
 
∫   xexdx = ex(x – 1) + C
 
 

Exemplo 2

Encontre:

∫   (5x – 3)cosx dx
 
 

u = (5x – 3)
du = (5x – 3)’dx → du = 5dx

dv = cosx dx

v = ∫   dv
 
 
v = ∫   cosx dx
 
 
v = ∫   cosx dx = sen x + C
 
 
∫   udv = uv – ∫   vdu
   
   
∫   (5x – 3)coxdx = (5x – 3)senx – ∫   (senx)5dx
   
   
∫   (5x – 3)coxdx = (5x – 3)senx – 5 ∫   senxdx
   
   
∫   (5x – 3)coxdx = (5x – 3)senx – 5 (-cosx) + C
 
 
∫   (5x – 3)coxdx = (5x – 3)senx + 5 cosx + C
 
 

Exemplo 3

Encontre:

∫   ln x dx
 
 

u = lnx

du
dx
=
1
x
du =
1
x
dx

dv = dx

v = ∫   dv
 
 
v = ∫   dx = x + C
 
 
∫   udv = uv – ∫   vdu
   
   
∫   lnxdx = (lnx)x – ∫   x
1
x
dx
   
   
∫   lnxdx = xlnx – ∫   dx
   
   
∫   lnxdx = xlnx – x + C
 
 

Exemplo 4

Encontre:

∫   x ln 2x dx
 
 

Exemplo 5

Encontre:

∫   √x lnx dx