Por meio da figura abaixo seremos capazes de identificar e definir os conceitos de módulo e argumento de um número complexo.
Dado um número complexo genérico z = a + bi, podemos representá-lo num plano cartesiano conforme figura acima. A parte real de z está indicada no eixo horizontal e a parte imaginária no eixo vertical. A distância do ponto P(a,b) até a origem e indicada pela letra ρ (letra grega que se lê: “rô”) é o módulo do número complexo.
z = √a² + b² ou ρ = √a² + b²
Note que ρ é obtido aplicando o teorema de Pitágoras onde ρ² = a² + b².
A medida do ângulo θ formado por ρ com o eixo real é o argumento do número complexo z. O ângulo θ deve satisfazer a condição 0 ≤ θ < 2π.
Observe que:
sen θ =
b
ρ
cos θ =
a
ρ
Os números ρ e θ são as coordenadas polares do ponto P(a,b) do plano e determinam a posição do ponto no plano.
Exemplo
(Facs-BA) Encontre o módulo do complexo
1 + 2i + i(1 – i) –
2
1 + i
.
1 – 2i + i – i² –
2
1 + i
1 – i + 1 –
2
1 + i
2 – i –
2
1 + i
2 –
2
1 + i
– i
2 –
2 – i(1 + i)
1 + i
2 –
2 – i – i²
1 + i
2 –
3 – i
1 + i
2(1 + i) – 3 – i
1 + i
2 + 2i – 3 – i
1 + i
– 1 + i
1 + i
O que temos aqui é a divisão de dois números complexos. Podemos então usar a regra da divisão.
z1
=
z1 * z2
z2
z2 * z2
– 1 + i
=
(- 1 + i) * (1 + i)
1 + i
(1 + i) * (1 + i)
2i
2
= i
O número complexo representado pela expressão
1 + 2i + i(1 – i) –
2
1 + i
= i
Então, z = i. Seu módulo será ρ = √a² + b² ⇒ ρ = √0² + 1² = 1.
