A multiplicação de matrizes exige um pouco mais de atenção. Para ficar mais fácil o entendimento vamos utilizar dois exemplos.
Exemplo 1
Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para a produção desses doces são utilizados os ingredientes X, Y e Z, conforme indica a tabela.
DOCES
A
B
X
5
8
Y
3
2
Z
4
7
A tabela será representada pela matriz A:
A =
5
8
3
2
4
7
Suponhamos que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia. Essa quantidade de doces pode ser representada pela matriz coluna:
B =
50
20
Se quisermos determinar a quantidade de ingredientes X, Y e Z utilizada por dia, devemos proceder da seguinte forma:
Ingrediente X:
5 * 50 + 8 * 20 = 410
Ingrediente Y:
3 * 50 + 2 * 20 = 190
Ingrediente Z:
4 * 50 + 7 * 20 = 340
Essas quantidades podem ser representadas pela matriz C:
C =
410
190
340
Podemos obter a matriz C, denominada produto de A por B, da seguinte forma:
A * B = C =
5
8
3
2
4
7
*
50
20
=
410
190
340
Nota: exemplo retirado do livro Matemática Fundamental, 2º grau: volume único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo : FTD, 1994.
Veja que, no exemplo anterior, veja que uma matriz A = (aij)3 x 2 multiplicada por outra matriz B = (bij)2 x 1 resultou numa matriz C = (cij)3 x 1. Veja a representação genérica.
A * B = C =
a11
a12
a21
a22
a31
a32
*
b11
b21
=
c11
c21
c31
Veja outro exemplo para melhor compreensão do assunto.
Exemplo 2
Suponhamos que o jornal esportivo O Esporte, circule em todo o país. Seu preço varia de acordo com o estado em que é vendido, pois leva em consideração a distância com o estado de São Paulo, onde ele é produzido.
As bancas de jornal “Leia já”, que distribuem o jornal O Esporte, fazem parte de uma rede com sede em São Paulo e filiais em Belo Horizonte, Salvador e Recife.
O proprietário da rede decidiu, durante uma semana, fazer um levantamento sobre a arrecadação gerada pelas vendas do jornal, a fim de estimar qual fração dessa receita as vendas de domingo representam.
Na semana em que foi realizado o levantamento, foram vendidas as seguintes quantidades:
Número de
exemplares vendidos
Cidade
de segunda-feira
a sábado
domingo
São Paulo
248
46
Belo Horizonte
93
32
Salvador
62
29
Recife
57
25
Na tabela abaixo, é possível encontrar o preço de venda do jornal O Esporte em cada cidade citada:
Cidade
Preço (em reais)
São Paulo
1,50
Belo Horizonte
2,00
Salvador
2,60
Recife
3,00
Qual foi a receita obtida pelas vendas de O Esporte de segunda-feira a sábado nessas cidades? E no domingo?
1º Cálculo da receita obtida pelas vendas de segunda-feira a sábado:
Vamos representar a tabela do número de exemplares vendidos pela matriz A.
A =
248
46
93
32
62
29
57
25
E a tabela referente ao preço de venda pela matriz B.
B =
1,50
2,00
2,60
3,00
Note que a matriz A é do tipo 4×2, e a matriz B do tipo 4×1. O resultado que esperamos encontrar só será possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Para isso, devemos gerar a transposta da matriz A.
A * B = C =
248
93
62
57
46
32
29
25
*
1,50
2,00
2,60
3,00
A * B = C =
890,20
283,40
Veja que o valor 890,20 = 248 * 1,50 + 93 * 2 + 62 * 2,60 + 57 * 3.
Perceba que a matriz A = (aij)2 x 4, ao ser multiplicada pela matriz B = (bij)4 x 1, resultou na matriz C = (cij)2 x 1.
Dos exemplos anteriores, decorre que, dadas as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p, o produto A * B será a matriz C = (cik)m x p, em que um elemento qualquer cik é obtido da seguinte maneira:
cik = ai1 * b1k + ai2 * b2k + … + ain * bnk
