Livro de Matemática

Número binomial

Dados dois números n e p, com n ∈ N, p ∈ N e n ≥ p; um número binomial é uma estrutura matemática do tipo:

n
p
=
n!
p!(n – p)!
n
p
→ lê-se: binomial de n sobre p

Na estrutura acima, n é o numerador e p o denominador do número binomial. Note que o número binomial de n sobre p é igual a combinação de n elementos, tomados p a p.

Consequências da definição:

a)
n
0
= 1 ∀ n ∈ N

b)
n
1
= n ∀ n > 1 e n ∈ N

c)
n
n
= 1 ∀ n ∈ N

Exemplo 1

Determine E, sendo

E =
7
2
+
2
1
–
4
2

Pela fórmula do número binomial temos que:

n
p
=
n!
p!(n – p)!

7
2
=
7!
2!(7 – 2)!
= 21

2
1
=
2!
1!(2 – 1)!
= 2

4
2
=
4!
2!(4 – 2)!
= 6

Então, E =
7
2
+
2
1
–
4
2
é igual a:

E = 21 + 2 – 6 = 17

Exemplo 2

Simplifique:

x
5
x
4
x!
5!(x – 5)!
x!
4!(x – 4)!

x(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
(x – 5)!
5!(x – 5)!
x(x – 1)(x – 2)(x – 3)
(x – 4)!
4!(x – 4)!

Note que podemos cortar os termos marcados.

x(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
5!
*
4!
x(x – 1)(x – 2)(x – 3)

Perceba também que o termo x(x-1)(x-2)(x-3) aparece no numerador e no denominador. Pode ser cortado.

(x – 4)4!
5!
=
(x – 4)4!
5 * 4!
=
x – 4
5

Números binomiais complementares

Seja o número binomial
n
p
e o binomial
n
q
.

Os dois números binomiais acima serão complementares se p + q = n. Então, dois números binomiais complementares possuem a seguinte estrutura:

n
p
 
n
n – p

Desta maneira são complementares os números binomiais abaixo:

6
2
e
6
4

4
1
e
4
3