Livro de Matemática

O binômio de Newton

(x + a)n =
n
0
a0xn +
n
1
a1xn – 1 +
n
2
a2xn – 2 + … +
n
n
anx0

 

Vamos entender esta fórmula. Note que:

  • As potências de x diminuem de n até 0.
  • As potências de a aumentam de 0 até n.
  • O expoente de a é igual ao denominador do número binomial e o expoente de x é igual a diferença entre o numerador e o denominador de tal binomial.
  • A soma do expoente de a com o expoente de x em cada termo é sempre igual a n.

Veja como fica a fórmula do binômio de Newton usando o somatório.

(x + a)n =

n
∑
p = 0
n
p
apxn – p

Segue também o desenvolvimento do binômio (x – a)n.

(x – a)n =
n
0
a0xn –
n
1
a1xn – 1 +
n
2
a2xn – 2 – … + ( – 1)n
n
n
anx0

 

Exemplo 1

Desenvolva (x – 1)³:

Vamos usar a fórmula do binômio de Newton.

(x + a)n =

n
∑
p = 0
n
p
apxn – p

 

(x + 1)³ =

3
∑
p = 0
3
p
1px3 – p

 

3
0
10x3 +
3
1
1¹x² + →

 

3
2
1²x¹ +
3
3
1³x0 →

x³ + 3x² + 3x + 1
Note que recorrendo a linha 3 do triângulo de Pascal conseguimos facilmente desenvolver o binômio.

Exemplo 2

Desenvolva
√x + 1
√x
4 :

Vamos expandir a expressão acima.

4
0
1
√x
0 (√x)4 +
4
1
1
√x
(√x)3 + →
4
2
1
√x
2 (√x)2 +
4
3
1
√x
3 √x + →
4
4
1
√x
4 →

Os valores dos números binomiais podem ser retirados da linha 4 do triângulo de Pascal.
1 4 6 4 1

(√x)4 + 4
1
√x
(√x)3 + →

 

6
1
√x
2 (√x)2 + →
4
1
√x
3 √x +
1
√x
4 →

 

x² + 4x + 6 +
4
x
+
1
x²