Operações com números complexos
Adição e Subtração
Dados dois números complexos genéricos z1 = a + bi e z2 = c + di.
A soma z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
A diferença z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Exemplo 1
Dados os números complexos z1 = 3 + 4i, z2 = 2 – i e z3 = -1 + 5i, determine z1 + z2 + z3.
z1 + z2 + z3
(3 + 4i) + (2 – i) + (-1 + 5i) = (5 + 3i) + (-1 + 5i) = (4 + 8i)
Exemplo 2
Sejam os números complexos z1 = (2x + 1) + yi e z2 = -y + 2i. Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0.
z1 + z2 = 0
(((2x + 1) + yi) + (-y + 2i)) = 0
Devemos somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.
(2x + 1 -y) + (y + 2)i = 0
2x – y + 1 = 0
y + 2 = 0 ⇒ y = -2
2x – (-2) + 1 = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = -3/2
Multiplicação
Dados dois números complexos genéricos z1 = a + bi e z2 = c + di.
A multiplicação z1 * z2 = (a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
ac + (ad + bc)i – bd, pois i² = -1
ac – bd + (ad + bc)i
Exemplo 1
Calcule:
a) (5 + i)(2 – i)
b) (3 + 4i)²
a) Vamos utilizar a propriedade distributiva.
(5 + i)(2 – i)
10 – 5i + 2i – i²
10 – 3i + 1
11 – 3i
b) (3 + 4i)²
Dos produtos notáveis sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b². Então:
(3 + 4i)² = 3² + 2*3*4i + (4i)²
9 + 24i + 16i²
9 + 24i – 16
-7 + 24i
Exemplo 2
Determine x e y de modo que (4 + i)(x – 2i) = y + 1/2i.
(4 + i)(x – 2i) = y + 1/2i
4x – 8i + xi – 2i² = y + 1/2i
4x – 8i + xi + 2 = y + 1/2i
4x + 2 + (x – 8)i = y + 1/2i
A partir daqui caimos numa igualdade de números complexos.
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Da segunda equação temos:
x – 8 = 1/2 ⇒ x = 1/2 + 8 = 17/2
Agora substituimos x na primeira equação.
4x + 2 = y
4(17/2) + 2 = y
34 + 2 = y
y = 36
S = {17/2, 36}
Divisão
Sejam dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, a divisão de z1 por z2 segue o esquema abaixo.
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Lembre-se que multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador não altera o resultado da fração.
Exemplo 1
Calcule:
| a) |
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| b) |
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| a) |
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| b) |
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1 – i