Livro de Matemática

Operações com polinômios

A soma, a diferença e a multiplicação de funções polinomiais é realizada verificando os coeficientes dos termos semelhantes. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Sejam os polinômios f(x) = x³ + 2, g(x) = 2x³ + 4x² – 3x – 5 e h(x) = 1/2x² – 1. Determine:
a) f(x) + g(x)
b) g(x) – h(x)
c) f(x) . h(x)

a) f(x) + g(x)

(x³ + 2) + (2x³ + 4x² – 3x – 5) ⇒
x³ + 2x³ + 4x² – 3x + 2 – 5 ⇒ 3x³ + 4x² – 3x – 3

b) g(x) – h(x)

(2x³ + 4x² – 3x – 5) – (1/2x² – 1)
2x³ + 4x² – 3x – 5 – 1/2x² + 1
2x³ + 7/2x² – 3x – 4

c) f(x) . h(x)

(x³ + 2) * (1/2x² – 1)
x³ * 1/2x² + x³ * (-1) + 2 * 1/2x² + 2 * (-1)
1/2x5 – x³ + x² – 2

Observação

Na multiplicação de dois polinômios A(x) e B(x) o grau do polinômio resultante é dado pela soma dos graus dos polinômios A(x) e B(x). No exemplo acima f(x) possui grau 3 e h(x) grau 2. Logo, o polinômio resultante possui grau 5, ou seja, 3 + 2 = 5.

Exemplo 2

Considere os polinômios A(x) = x² – x + 1, B(x) = -2x² + 3 e C(x) = x³ – x + 2. Calcule (A – B)² – 3(C + B).

Para não nos perdermos vamos resolver a expressão em partes.

(A – B)

(x² – x + 1) – (-2x² + 3)
x² – x + 1 + 2x² – 3
3x² – x – 2

Agora fazemos (A – B)²

(3x² – x – 2)²
(3x² – x – 2) * (3x² – x – 2)
3x² * 3x² + 3x² * (-x) + 3x² * (-2) + (-x) * 3x² + (-x)*(-x) + (-x) * (-2) + (-2) * 3x² + (-2) * (-x) + (-2) * (-2)
9x4 – 6x³ – 11x² + 4x + 4

(C + B)

(x³ – x + 2) + (-2x² + 3)
x³ – 2x² – x + 5

Agora fazemos 3(C + B)

3(x³ – 2x² – x + 5)
3x³ – 6x² – 3x + 15

Agora juntamos as partes grifadas.

(A – B)² – 3(C + B)

(9x4 – 6x³ – 11x² + 4x + 4) – (3x³ – 6x² – 3x + 15)
9x4 – 6x³ – 11x² + 4x + 4 – 3x³ + 6x² + 3x – 15
9x4 – 9x³ – 5x² + 7x -11