Até o momento calculamos as funções circulares de ângulos imediatos como 30º, 45º, 60º e 90º. Contudo, através destes ângulos podemos encontrar as funções circulares da soma de dois arcos, da diferença de dois arcos ou, ainda do dobro (ou triplo) de um arco dado.
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Exemplo 1
Calcule o seno, cosseno e tangente do ângulo de 75º.
sen 75º = sen(30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
| sen(30º + 45º) |
= |
1 |
• |
√2 |
+ |
√2 |
• |
√3 |
| 2 |
2 |
2 |
2 |
|
| sen(30º + 45º) |
= |
√2 |
+ |
√6 |
| 4 |
4 |
|
cos 75º = cos(30º + 45º) = cos 30º . cos 45º – sen 30º . sen 45º
| cos(30º + 45º) |
= |
√3 |
• |
√2 |
– |
1 |
• |
√2 |
| 2 |
2 |
2 |
2 |
|
| cos(30º + 45º) |
= |
√6 |
– |
√2 |
| 4 |
4 |
|
| tg(30° + 45°) |
= |
tg 30º + tg 45° |
| 1 – tg 30° . tg 45° |
|
| tg(30° + 45°) |
= |
√3 / 3 + 1 |
| 1 – √3 / 3 . 1 |
|
| tg(30° + 45°) |
= |
√3 / 3 + 1 |
| 1 – √3 / 3 |
|
| tg(30° + 45°) |
= |
3 + √3 |
| 3 – √3 |
|
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Fórmulas da multiplicação
Dadas as funções circulares de um arco a, é possível, mediante a aplicação das fórmulas de adição de dois arcos, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2a, 3a, …, chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo, …
Fazendo b = a, teremos (a + b) = (a + a) = 2a.
Daí:
sen(2a) = 2sen a . cos a
cos(2a) = cos²a – sen²a
Exemplo 1
Sendo cos a = 2/5, com 0 < a < π/2, determine sen 2a e cos 2a.
Exemplo 2
Demonstre que tg x • sen 2x = 2sen²x.
Exemplo 3
Demonstre que 1 + tg a • tg 2a = sec 2a
