Pares ordenados
Considere o par ordenado genérico (x,y), onde x ∈ R e y ∈ R. São válidas as definições abaixo:
- Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d
- Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
- Multiplicação: (a,b) * (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
Todo par ordenado da forma (x,0) pode ser representado pelo número real x, ou seja, x = (x,0).
O que chamou a atenção dos matemáticos é a multiplicação do par ordenado (0,1) por ele mesmo, ou seja, (0,1) * (0,1).
(0,1) * (0,1) = (- 1 , 0)
Do exposto acima podemos concluir que (-1,0) = -1. Logo, foi encontrado um elemento que multiplicado por ele mesmo resulta em -1.
Então, podemos dizer que o conjunto dos números complexos, que representamos pela letra C, é o conjunto dos pares ordenados de números reais que segue a seguinte lei.
Z ∈ C ⇔ Z = (x,y), sendo que x ∈ R e y ∈ R
Veja como se obtem um número complexo Z = (x,y).
Z = (x,y) = (x,0) + (y,0)
= (x,0) + (y * 0 – 0 * 1 , y * 1 + 0 * 0)
= (x,0) + (y,0) * (0,1)
Visto que (x,0) = x e (y,0) = y e (0,1) = i
podemos escrever (x,y) = x + yi ou Z = x + yi