Posições relativas de duas retas no plano cartesiano
Um plano contem diversos elementos e estes por sua vez podem ou não interagir entre si. Vamos criar uma imagem mental onde determinada área urbana possa servir de plano para nosso estudo. Nessa área urbana temos ruas. Dessas ruas algumas são paralelas enquanto outras se cruzam.
Levando essa área urbana a um plano abstrato, as ruas serão retas que terão as mesmas propriedades, tanto de serem paralelas quanto de se cruzarem.
Considere duas retas r e s, não verticais de coeficientes angulares α e β, respectivamente.
Podem ocorrer dois casos.
1º caso: α = β
Se α = β ⇒ tg α = tg β, concluimos que:
O coefiente angular de ambas as retas é o mesmo. Portanto, as retas r e s são paralelas.
2º caso: α ≠ β
Se α ≠ β ⇒ tg α ≠ tg β, concluimos que:
As retas r e s são concorrentes, pois seus coefiecientes angulares são diferentes.
Todo par de retas concorrentes possui um ponto em comum. Na figura acima o ponto em comum das retas r e s é P. Além disso, as retas formam um ângulo θ ao se cruzarem, permitindo assim obtermos mais informações sobre a situação.
Ângulo formado por duas retas concorrentes
Na figura M abaixo, as retas r e s se intersectam no ponto P formando entre si um ângulo θ.
1º caso: θ = 90º
No triângulo APB, pela Geometria Plana, tem-se:
β = α + θ
β = α + 90º
tg β = tg (α + 90º)
| tg(α + 90º) | = |
|
| ⇒ | – |
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= | – cotg α | = | – |
|
Como tg α = mr e tg β = ms, tem-se:
| tg β | = | – |
|
⇒ | ms | = | – |
|
| ms | = | – |
|
Quando a relação acima ocorrer dizemos que as retas r e s são perpendiculares.
2º caso: 0 < θ < 90º
Nesse caso nossa intenção é descobrir o valor de θ.
No triângulo APB, pela Geometria plana, tem-se:
β = α + θ
θ = β – α
tg θ = tg (β – α)
| tg θ | = |
|
Como tg α = mr e tg β = ms, tem-se:
| tg θ | = |
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Caso uma das retas seja vertical, teremos:
| tg θ | = |
|