Potências de i
Do conjunto dos números reais temos que dado um número real a e n um inteiro positivo, a expressão an representa o produto de n fatores, todos iguais a a, ou seja:
Na expressão acima an, o número real a é chamado de base e n é chamado de expoente.
No conjunto dos números complexos não é diferente. Veja abaixo algumas potências de i:
i0 = 1
i¹ = i
i² = – 1
i³ = i² * i = (-1) * i = -i
Continuando o processo veja o que acontece.
i4 = i³ * i = (-i) * i = -i² = 1
i5 = i4 * i = 1 * i = i
i6 = i5 * i = i * i = i² = -1
i7 = i6 * i = -1 * i = -i
Note que os resultados repetem-se de 4 em 4.
Então, para calcular potências de i, basta dividir o expoente n, lembrando que n deve ser inteiro e positivo, por 4:
• Se o resto for 0, in = 1
• Se o resto for 1, in = i
• Se o resto for 2, in = -1
• Se o resto for 3, in = -i
Veja o motivo:
| n | 4 |
| r | q |
n = 4q + r (0 ≤ r ≤ 3)
in = i4q + r
in = i4q * ir
in = (i4)q * ir
in = 1q * ir
in = 1 * ir
in = ir
Exemplo
Ache o valor de i123 + i180.
Dividimos 123 e 180 por 4 e verificamos o valor do resto.
| 123 | 4 |
| 3 | 30 |
| 180 | 4 |
| 0 | 45 |
portanto, i123 = i³ = -i e i180 = i0 = 1. Logo:
i123 + i180 = i³ + i0 = -i + 1 = 1 – i.