Primitiva e integral indefinida
Dada uma função ƒ:]a,b[→ ℝ, uma primitiva de ƒ (ou antiderivada) é uma função F:]a,b[ → ℝ tal que F'(x) = f(x).
Podemos pensar na integração como o processo inverso da derivação.
No capítulo anterior estudamos sobre Derivadas e aprendemos várias técnicas de manipulação de funções. Para entendermos o esquema acima vamos admitir a função F(x) = x² + 4x. Se derivarmos F(x) – (F'(x)) – chegaremos na função f(x) = 2x + 4. Portanto, se quisermos agora fazer o processo de volta devemos integrar.
| ∫ | (2x + 4)dx | = | ∫ | 2xdx | + | ∫ | 4dx | |||
| ∫ | (2x + 4)dx | = | 2 | ∫ | xdx | + | 4 | ∫ | dx | |||
| 2 |
|
+ | 4 | x |
F(x) = x² + 4x
Nesse caso em particular encontramos exatamente a função primitiva que originou a função f(x). Mas, note que se F(x) foi qualquer uma das funções mostradas abaixo, ao derivarmos chegaríamos na mesma f(x).
F(x) = x² + 4x + 3 → F'(x) = 2x + 4
F(x) = x² + 4x + 7 → F'(x) = 2x + 4
F(x) = x² + 4x + k → F'(x) = 2x + 4
Isso ocorre porque a derivada de uma constante é igual a zero. A fórmula abaixo mostra a integral indefinida de uma função f(x).
| ∫ | f(x)dx | = | F(x) + C | |