Probabilidade condicional
A probabilidade condicional como o próprio nome diz, sofre o efeito de uma condição. A probabilidade de um evento B ocorrer está atrelada a um evento A que já ocorreu.
Sendo A um envento de um espaço amostral Ω, não vazio, e B outro evento desse mesmo espaço amostral, existe uma probabilidade condicional de ocorrência do evento B em relação ao evento A. O cálculo da probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento B dado que já ocorreu o evento A, é expressa por:
| P(B | A) | = |
|
A fórmula pode ser lida como “a probabilidade de B ocorrer dado que, ou sabendo que, A ocorreu”.
Exemplo 1
Na saída de um Fla-Flu, no Maracanã, foram ouvidos, para fins de pesquisa de opinião, 80 torcedores assim distribuídos:
| Homens | Mulheres | Total | |
|---|---|---|---|
| Flamengo | 27 | 14 | 41 |
| Fluminense | 23 | 16 | 39 |
| Total | 50 | 30 | 80 |
Escolhemos, entre os entrevistados, uma pessoa ao acaso. Constatando que a pessoa escolhida é homem, qual é a probabilidade de que ele seja torcedor do flamengo?
Veja que neste exemplo temos que encontrar probabilidade de se escolher um torcedor do flamengo, sabendo que já foi escolhido um homem. Note que, se não houvesse sido escolhido ninguém, o espaço amostral seria 80, que é o total de torcedores. Mas, como um homem já foi escolhido, ou seja, um evento já ocorreu; a probabilidade do segundo evento ocorrer muda completamente.
Agora o espaço amostral é o total de homens, ou seja, 50.
A probabilidade de se escolher um torcedor, dado que este é homem é:
| P(B | A) | = |
|
| P(Fla | Homem) | = |
|
| P(B | A) | = |
|
Exemplo 2
Num prédio residencial há dois blocos: A e B. No bloco A, há 80 apartamentos, dos quais 15% estão em atraso com o condomínio. No bloco B, há 50 apartamentos, 10% dos quais com taxas atrasadas. As fichas de todos os moradores estão reunidas, e uma delas é escolhida ao acaso.
a) Qual é a probabilidade de que a ficha escolhida seja do bloco A e esteja quite com o condomínio?
b) Sabe-se que a ficha escolhida é de um condômino em atraso. Qual é a probabilidade de que ele seja do bloco B?
Vamos reunir os dados do problema.
Bloco A
80 apartamentos
15% → condomínio atrasado
12 apartamentos com condomínio atrasado
68 apartamentos em dia com o condomínio
Bloco B
50 apartamentos
10% → condomínio atrasado
5 apartamentos com condomínio atrasado
45 apartamentos em dia com o condomínio
a) Escolher uma ficha do bloco A que esteja quite com o condomínio.
| P(A) | = |
|
| P(A) | = |
|
= |
|
| P(A) | = |
|
b) Sabe-se que a ficha escolhida é de um condômino em atraso. Qual é a probabilidade de que ele seja do bloco B?
Aqui já houve a mudança do espaço amostral. O novo espaço amostral é o conjunto de todos os condôminos em atraso, ou seja, 12 do bloco A mais 5 do bloco B.
n(Ω) = 12 + 5 = 17
Percebeu a redução do espaço amostral? De 130 caiu para 17. Em problemas de probabilidade condicional o espaço amostral sempre será reduzido.
Agora, qual a probabilidade de que seja do bloco B. Ser do bloco B e estar em atraso corresponde a 5. Logo:
| P(Bloco B | Atraso) | = |
|
| P(B | A) | = |
|
| P(B | A) | = |
|
Exemplo 3
(FGV – SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta?
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?
Vamos supor que existam 1000 declarações.
10% das declarações são suspeitas
0,1 • 1000 = 100 → suspeitas
20% das declarações suspeitas são fraudulentas
0,2 • 100 = 20 → fraudulentas e suspeitas
1000 – 100 = 900 declarações não suspeitas
0,02 • 900 = 18 → fraudulentas não suspeitas
Note como fica mais fácil quando construímos o diagrama de Venn.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta?
| P(A) | = |
|
= | 2% |
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?
Veja o novo espaço amostral representado no diagrama acima.
S: Suspeitas
F: Fraudulentas
| P(S | F) | = |
|
| P(S | F) | = |
|
= |
|
Multiplicação de probabilidades
Quando um evento é composto de várias etapas independentes, de tal maneira que:
a primeira etapa é A e sua probabilidade é p1,
a segunda etapa é B e sua probabilidade é p2,
a terceira etapa é C e sua probabilidade é p3,
.
.
.
a n-ésima etapa é N e sua probabilidade é pn,
então a probabilidade de que as etapas A, B, C, …., N ocorram nessa ordem é:
Exemplo 1
Considerem-se duas caixas I e II. Na caixa I, há 4 bolas pretas e 6 bolas azuis, e na caixa II há 8 bolas pretas e 2 bolas azuis. Escolhe-se, ao acaso, uma caixa e, em seguida, dela se tira uma bola. Qual a probabilidade de que esta bola seja?
a) preta?
b) azul?
Vamos construir uma árvore de possibilidades para visualizarmos melhor o que se pede:
Agora ficou fácil. O evento procurado é composto de duas etapas: 1ª etapa é a escolha da caixa e a 2ª etapa é a escolha da bola.
a) Retirar uma bola preta.
|
+ |
|
= |
|
b) Retirar uma bola azul.
|
+ |
|
= |
|
Exemplo 2
Numa caixa estão guardardos 20 livros, sendo 12 de Biologia e 8 de Geografia. Dois deles são retirados sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de terem sido escolhidos 2 livros de Biologia?
Vamos construir uma árvore de possibilidades para visualizarmos com mais facilidade o problema.
Os ramos da árvore que mostram a escolha de dois livros de biologia é:
|
• |
|
= |
|
Exemplo 3
Qual é a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo masculino?
A chance de um casal ter um filho do sexo masculino é de ½. Porém, o evento completo é composto de 4 etapas; sendo cada nascimento uma etapa. Logo, teremos: (½)4 = 1/16.
Eventos independentes
Dois eventos são ditos independentes quando a realização ou não realização de um deles não afeta a probabilidade da realização do outro. Se A e B são eventos independentes; e sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A e P(B) a probabilidade de ocorrer o evento B; a probabilidade de ocorrer A e B, simultaneamente é dado por P(A ⋂ B) = P(A) • P(B).
Exemplo 1
Uma moeda é lançada 3 vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:
a) três caras;
b) pelo menos uma cara.
Para cada lançamento tem-se ½ de chance para sair cara ou coroa. E cada lançamento é considerado um evento independente. Portanto, a chance de sair coroa nos três lançamentos será:
a) três caras;
|
• |
|
• |
|
= |
|
b) pelo menos uma cara.
Exceto o ramo ccc todos os demais contêm pelos menos uma cara.
| 7 | • |
|
= |
|
Exemplo 2
No lançamento de dois dados honestos, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo?
O problema nos mostra dois eventos.
Evento 1: obter o número 1 no primeiro dado.
Evento 2: obter o número 5 no segundo dado.
Os eventos 1 e 2 são independentes.
P(Evento 1) = 1/6
P(Evento 2) = 1/6
P(Evento 1 ⋂ Evento 2) = P(Evento 1) • P(Evento 2)
P(Evento 1 ⋂ Evento 2) = 1/6 * 1/6 = 1/36