Livro de Matemática

Progressão aritmética

Observe as sequências abaixo:

I) (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, an, …)

II) (7, 10, 15, 22, 33, 46, 63, 82, an, …)

III) (4, 7, 10, 13, 16, an, …)

É muito mais fácil saber o valor de an na terceira sequência do que nas outras. Na terceira sequência de um termo para o seguinte, somamos 3. Note também que este valor é fixo para todos os termos. O mesmo não ocorre para as outras sequências.

• Sequência I)

1
2 = 1 + 1
4 = 2 + 2
7 = 4 + 3
11 = 7 + 4
16 = 11 + 5
22 = 16 + 6

Essa sequência está amarrada a outra. Veja:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → an = n

(1, 2, 4, 7, 11, 16, …) → bn + 1 = bn + an

Para chegarmos ao próximo termo da sequência bn + 1 , precisamos somar o termo anterior bn com o termo de mesma posição na da sequência an.

• Sequência II)

7
10 = 7 + 3
15 = 10 + 5
22 = 15 + 7
33 = 22 + 11

Da mesma forma que acontece na sequência (I), a sequência (II) está amarrada a outra. Veja:

(3, 5, 7, 11, 13, …) → sequência de números primos

(7, 10, 15, 22, 33, 46, 63, …) → bn + 1 = bn + an

Observação

Nas sequências (I) e (II), a razão varia de um termo para o seguinte; porém, na sequência (III), o valor da razão é constante.

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado a um número fixo, chamado razão.

A representação matemática de uma Progressão aritmética (P.A.) é:

(a1, a2, a3, …, an, an + 1, …)

an + 1 = an + r, ∀ n ∈ ℕ*

Uma Progressão aritmética pode ser classificada dependendo do sinal da razão.

• Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente.

(5, 9, 13, 17,…) → r = 4

• Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.

(12, 10, 8, 6, 4, …) → r = -2

• Quando r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária.

(3, 3, 3, 3, 3, …)

A P.A. (240.55, 240.55, 240.55, 240.55, 240.55, …, 240.55) representa as parcelas de uma compra à prazo.