Progressão geométrica
Observe a seguinte sequência (4, 8, 16, 32, 64, …). Essa sequência é regida por uma fórmula fechada, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo.
8 = 4 * 2
16 = 8 * 2
32 = 16 * 2
64 = 32 * 2
O número fixo, neste caso, vale 2, ou seja, a razão dessa sequência vale 2.
Podemos generalizar da seguinte forma:
(a1, a2, a3, …, an, an + 1, …)
a2 = a1 * q
a3 = a2 * q → a1 * q * q → a1 * q²
a4 = a3 * q → a2 * q * q → a1 * q³
A fórmula acima é a chamada fórmula do termo geral de uma P.G. e nela: an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é a quantidade de termos e q é a razão
Progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão.
Exemplo 1
Dada a sequência (11, 44, 176,…), determine seu 9º termo.
Dados do problema:
a9 é o termo que se deseja encontrar
a1 = 11
a2 = a1 * q → 44 = 11 * q → q = 44 ÷ 11 → q = 4
Usando a fórmula do termo geral da P.G., temos:
an = a1 * qn – 1 a9 = a1 * q9 – 1 a9 = a1 * q8 a9 = 11 * 48 a9 = 720.896
Exemplo 2
A sequência de números positivos dada por (x – 2, √(x² + 11), 2x + 2, …) é uma progressão geométrica. Qual é o sétimo termo dessa progressão?
|
= |
|
(√(x² + 11))² = (x – 2)(2x + 2)
x² + 11 = 2x² – 2x – 4
11 = x² – 2x – 4
x² – 2x – 15 = 0
Δ = b² – 4ac
Δ = (-2)² – 4(1)(-15)
Δ = 64
| x = |
|
| x = |
|
| x = |
|
x’ = 5 e x” = -3
Visto que o problema informou que a sequência de números é positiva, ficamos com x = 5.
Portanto, a sequência (x – 2, √(x² + 11), 2x + 2, …) é (5 – 2, √(5² + 11), 2(5) + 2, …) → (3, 6, 12, …).
O sétimo termo corresponde ao a7.
an = a1 * qn – 1
a7 = a1 * q7 – 1
a7 = a1 * q6
a7 = 3 * 26
a7 = 192
Exemplo 3
O número de participantes de um bate-papo virtual (chat) em um portal de internet varia segundo uma P.G. no período das 23 horas às 6 horas. Se, às 2 horas da manhã, havia 2.000 pessoas nas salas de bate-papo e às 5 da manhã, 250 pessoas, determine o número de internautas nas salas às 23 horas e às 6 horas.
Para facilitar o entendimento do exercício, vamos montar o seguinte esquema:
| Horário | Termo da P.G. |
| 23 horas | a1 = ? |
| 00 horas | a2 |
| 1 hora | a3 |
| 2 horas | a4 = 2.000 |
| 3 horas | a5 |
| 4 horas | a6 |
| 5 horas | a7 = 250 |
| 6 horas | a8 = ? |
a4 = a1 * q³ → a1 * q³ = 2.000
a7 = a1 * q6
a7 = a1 * q3 * q3
a7 = (a1 * q3) * q3
a7 = a4 * q3
250 = 2.000 * q³
| q³ = |
|
| q³ = |
|
| q = |
|
a4 = a1 * q3
2.000 = a1 * (1/2)3
2.000 = a1 * (1/8)
a1 = 2.000 * 8 = 16.000
Portanto, às 23 horas havia 16.000 pessoas nas salas de bate-papo.
6 horas correspondem ao a8 = a1 * q8 – 1.
a8 = a1 * q7
a8 = 16.000 * (1/2)7
a8 = 16.000 ÷ 128
a8 = 125
Logo, às 6 horas, havia 125 pessoas nas salas de bate-papo.
Veja a sequência que representa essa situação: (16.000, 8.000, 4.000, …).
Uma P.G. pode ser classificada como crescente, decrescente, alternada e constante. Vejamos cada caso:
Crescente
Uma P.G. é crescente:
• Quando a1 > 0 e q > 1.
Exemplo: (1, 4, 16, 64, …) é uma P.G. crescente, com a1 = 1 e q = 4.
• Quando a1 < 0 e 0 < q < 1.
Exemplo: (-40, -20, -10, …) é uma P.G. crescente, com a1 = -40 e q = 1/2.
Decrescente
Uma P.G. é decrescente:
• Quando a1 > 0 e 0 < q < 1.
Exemplo: (256, 64, 16, …) é uma P.G. decrescente, com a1 = 256 e q = 1/4.
• Quando a1 < 0 e q > 1.
Exemplo: (-2, -10, -50, …) é uma P.G. decrescente, com a1 = -2 e q = 5.
Alternada
Uma P.G. é alternada:
• Quando q < 0.
Exemplo: (2, -6, 18, -54, …) é uma P.G. alternada, com a1 = 2 e q = -3.
Constante
Uma P.G. é constante:
• Quando q = 1.
Exemplo: (4, 4, 4, …) é uma P.G. constante, com a1 = 4 e q = 1.