O conceito de razão e proporção é de grande importância não só na matemática como também no nosso dia a dia. Podemos encontrar esse conceito ao ampliar uma imagem, ao assistir um a filme de terror em que um inseto possui tamanho gigante, totalmente fora da realidade; entre outros casos.
Razão
A razão nada mais é do que a divisão entre dois números, ou seja, a razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Além disso, a razão serve para comparar duas grandezas.
Indicamos:
(lê-se: a para b)
Os números a e b são os termos da razão; a recebe o nome de antecedente (numerador) e b, consequente (denominador) da razão.
Exemplo 1
Na fila de um guichê de venda de ingressos em um estádio de futebol, havia 48 torcedores, sendo 20 palmeirenses e 28 corintianos. Qual a razão entre o número de palmeirenses e o número de corintianos? Explique.
Isso significa que para cada 5 palmeirenses havia 7 corintianos.
Exemplo 2
Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la?
Podemos dizer que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Aprendemos que a : b e c : d são razões; então, se igualarmos essas duas razões teremos uma proporção.
(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)
Os números a e d são chamados extremos, e os números b e c são chamados meios.
Na proporção anterior, se realizarmos a multiplicação cruzada, teremos:
ad = bc
O que nos permite dizer que:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo 1
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 k do “peso” da criança. Qual a dosagem correta para uma criança com 12 kg?
2x = 5 • 12
2x = 60
x = 30 gotas
Exemplo 2
Num concurso público, constatou-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres era 3/5. Se o total de inscritos era 1600 pessoas, determine:
a) o número de mulheres que fizeram o concurso.
b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que 5/12 dos homens foram aprovados e 17/25 das mulheres não conseguiram aprovação.
Vamos determinar, inicialmente, que x representará o número de homens e y o de mulheres.
a)
Logo, 3y = 5x
x + y representa o total de inscritos.
x + y = 1600
y = 1000. Logo, 1000 mulheres fizeram o concurso.
b)
O total de inscritos foi de 1600. Logo, 1000 + x = 1600 ⇒ 600 homens fizeram o concurso.
O problema informou que 5/12 dos homens foram aprovados.
O problema informou também que 17/25 das mulheres foram reprovadas.
1000 – 680(reprovadas) = 320 (aprovadas)
Visto que o problema pede a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, temos:
| 250 (homens) + 320 (mulheres) |
| 1600 |
|
= |
|
A resposta é:
Transformações
Vamos realizar algumas manipulações nos termos de uma proporção com a finalidade de descobrir algo novo. Tomemos, como exemplo, a proporção abaixo.
Realizando a multiplicação cruzada, temos: 3 • 20 = 4 • 15 → 60 = 60.
Ao fazer as manipulações com os termos da proporção, tome cuidado para que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios seja mantida.
• Alternando os extremos:
• Alternando os meios:
• Invertendo os termos:
• Transpondo as razões:
