Livro de Matemática

Exemplo 1

Encontre a derivada da função f(x) = (x² + 1)⁵⁰.

A função f(x) = (x² + 1)⁵⁰ é composta com a função u(x) = x² + 1. Portanto, tem-se:

f(u) = u⁵⁰ e u(x) = x² + 1.

A derivada é calculada fazendo:

Exemplo 2

Encontre a derivada da função f(x) = ln(3x³ – 7x).

A função f(x) = ln(3x³ – 7x) é uma função composta pelas funções f(u) = ln(u) e u(x) = 3x³ – 7x.

Vamos derivar a função u(x).

Agora derivamos a função f(u) = ln(u).

Portanto, a derivada que procuramos é:

Exemplo 3

Encontre a derivada da função f(x) = ln(cosx).

Verificando a tabela de derivadas temos que:

Logo,

y’ = -tgx

Exemplo 4

Encontre a derivada da função f(x) = ln(x + lnx).

Lembre-se de que é possível resolver a derivada de uma função composta verificando uma regra possível na tabela de derivadas ou multiplicando a derivada da função interna pela derivada da função externa.

Função interna = x + lnx
Função externa = ln(x + lnx)

Derivada da função interna

Derivada da função externa:

A derivada da função f(x) = ln(x + lnx) é:

Exemplo 5

Encontre a derivada da função f(x) = senx² e h(x) = sen²x.

f(x) = senx²
f(x) = sen(x²)

f(u) = sen(u)
u(x) = x²

f'(u) = cos(u)

u'(x) = 2x;

f'(x) = u'(x) • f'(u)
f'(x) = 2x • cos(u)
f'(x) = 2xcos(x²)

h(x) = sen²x
h(x) = (senx)²

h(u) = u²
u(x) = senx

h'(u) = 2u
u'(x) = cosx

h'(x) = u'(x) • h'(u)
h'(x) = cosx • 2u
h'(x) = cosx2(senx)
h'(x) = 2cosx.senx

Exemplo 6

Encontre a derivada da função f(x) = e^{x5 – 7}.

Pela tabela de derivadas temos:

Exemplo 7

Encontre a derivada da função f(x) = e^ex.

f(x) = e^ex

f(u) = e^u
f'(u) = e^u

u(x) = e^x
u'(x) = e^x

f'(x) = f'(u) • u'(x)
f'(x) = e^u • e^x
f'(x) = e^ex • e^x
f'(x) = e^{x + ex}