A regra de Cramer consiste num método para resolver sistemas lineares quadrados, ou seja, sistemas com n equações e n incógnitas.
Veja um exemplo genérico abaixo:
Este sistema possui três equações e três variáveis.
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| a11x + a12y + a13z |
= b1 |
| a21x + a22y + a23z |
= b2 |
| a31x + a32y + a33z |
= b3 |
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Para calcularmos os valores das variáveis através da regra de Cramer seguimos os passos abaixo.
Passo 1: Montamos a matriz dos coeficientes do sistema e calculamos o seu determinante DA.
| A = |
| a11 |
a12 |
a13 |
| a21 |
a22 |
a23 |
| a31 |
a32 |
a33 |
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Passo 2: Encontrar o valor da variável x. Construimos uma nova matriz de coeficientes a partir da matriz A, mas no lugar da primeira coluna, referente a variável x, colocamos os valores dos termos independentes. Depois calculamos o valor do determinante Dx.
| Ax = |
| b1 |
a12 |
a13 |
| b2 |
a22 |
a23 |
| b3 |
a32 |
a33 |
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Passo 3: Encontrar o valor da variável y. Construimos uma nova matriz de coeficientes a partir da matriz A, mas no lugar da segunda coluna, referente a variável y, colocamos os valores dos termos independentes. Depois calculamos o valor do determinante Dy.
| Ay = |
| a11 |
b1 |
a13 |
| a21 |
b2 |
a23 |
| a31 |
b3 |
a33 |
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Passo 4: Encontrar o valor da variável z. Construimos uma nova matriz de coeficientes a partir da matriz A, mas no lugar da terceira coluna, referente a variável z, colocamos os valores dos termos independentes. Depois calculamos o valor do determinante Dz.
| Az = |
| a11 |
a12 |
b1 |
| a21 |
a22 |
b2 |
| a31 |
a32 |
b3 |
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Desta forma, os valores de x, y e z será:
Portanto, a solução do sistema será
Exemplo 1
Resolver o sistema abaixo usando a regra de Cramer.
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| x1 + 2x2 – x3 |
= 0 |
| 3x1 – 4x2 + 5x3 |
= 10 |
| x1 + x2 + x3 |
= 1 |
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Passo 1: Construimos a matriz incompleta do sistema. E calculamos o seu determinante.
Det A = -12
Passo 2: Construimos as matrizes das incógnitas. E calculamos o seu determinante.
Det Ax1 = -24
Passo 3: Construimos a matriz incompleta da variável x2.
Det Ax2 = 12
Passo 4: Construimos a matriz incompleta referente a variável x3 e calculamos o seu determinante.
Det Ax3 = 0
Passo 5: Agora faremos o cálculo para encontrar o valor das incógnitas.
Logo, x1 = 2.
Logo, x2 = -1.
O valor de x3 é zero.
O sistema é possível e determinado.
Exemplo 2
Uma certa escola de ensino médio tem 107 alunos nas 1ª e 2ª séries, 74 nas 2ª e 3ª séries e 91 nas 1ª e 3ª. Qual o total de alunos dessa escola?
Vamos montar o sistema da situação usando o seguinte esquema.
x = representará o número de alunos da 1ª série.
y = representará o número de alunos da 2ª série.
z = representará o número de alunos da 3ª série.
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| x + y + 0z |
= 107 |
| 0x + y + z |
= 74 |
| x + 0y + z |
= 91 |
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Usando a regra de Cramer vamos encontrar o valor das variáveis.
1º – Montamos a matriz incompleta do sistema e calculamos o seu determinante.
Det A = 2
2º – Montamos a matriz incompleta referente a variável x e calculamos o seu determinante.
Det Ax = 124.
3º – Montamos a matriz incompleta referente a variável y e calculamos o seu determinante.
Det Ay = 90.
Det Az = 58.
4º – Encontramos os valores das variáveis x, y e z.
Então, o total de alunos da escola é x + y + z = 62 + 45 + 29 = 136. Logo, a escola possui 136 alunos.
