A regra de L’Hopital usa derivadas como estratégia para facilitar o cálculo de limites. Com ela é possível eliminar facilmente as indeterminações encontradas.
Considere duas funções f(x) e g(x).
lim
f(x)
= 0
x→a
lim
g(x)
= 0
x→a
Nesta situação ambas as funções possuem limite igual a zero quando x tende à a.
Logo, o limite de f(x)÷g(x) não conseguimos calcular de forma imediata. Necessitamos de uma ferramenta adicional para conseguirmos eliminar a indeterminação 0/0 encontrada.
lim
f(x)
g(x)
=
0
0
x→a
Suponhamos que seja possível encontrar um valor L para o limite das derivadas f'(x) e g'(x). Se for possível, dizemos que L é também o limite do quociente das originais f(x) e g(x).
lim
f'(x)
g'(x)
=
L
x→a
Exemplo 1
Encontre o limite de :
lim
1 – cosx
x²
x→0
Neste caso se apenas substituírmos os valores de x cairemos numa indeterminação.
lim
1 – cos(0)
(0)²
=
0
0
x→0
Para eliminarmos a indeterminação derivamos a função do numerador e do denominador.
lim
1 – cosx
x²
x→0
lim
(1 – cosx)’
(x²)’
x→0
lim
senx
2x
x→0
lim
1
2
•
senx
x
=
1
2
x→0
Exemplo 2
Calcular o limite abaixo:
lim
ln x
3x – 3
x→1
Se fizermos as substuições de forma direta vamos nos deparar com a indeterminação 0/0.
Para contornármos a situação vamos aplicar a regra de L’Hopital derivando as duas funções: ln x e 3x – 3.
