Livro de Matemática

A regra de Sarrus é utilizada em matrizes de ordem 3. Dada uma matriz A

O determinante de A pode ser calculado repetindo a primeira e segunda colunas à direita da matriz conforme o esquema abaixo:

Agora multiplicamos em diagonal os elementos selecionados.

Então o determinante da matriz A é det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + ( vamos para o passo abaixo).

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + …

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁ – a₁₁*a₂₃*a₃₂

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁ – a₁₁*a₂₃*a₃₂ – a₁₂*a₂₁*a₃₃
Note que os elementos com fundo laranja possuem sinal positivo, enquanto que aqueles marcados com fundo azul recebem sinal negativo. Veja abaixo o esquema completo.

det A = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₁₃*a₂₁*a₃₂ – a₁₃*a₂₂*a₃₁ – a₁₁*a₂₃*a₃₂ – a₁₂*a₂₁*a₃₃

Exemplo 1

Calcular o determinante da matriz M.

M =	1 -1 3 4 2 5 7 0 -2

Usando a regra de Sarrus, vem:

Então o determinante da matriz M é det M = 1 * 2 * (-2) + (-1) * 5 * 7 + 3 * 4 * 0 – 3 * 2 * 7 – 1 * 5 * 0 – (-1) * 4 * (-2).
det M = -4 + (-35) + 0 – 42 – 0 – 8 = -89

Exemplo 2

Resolva a equação

2 3 1 x 1 x 2 0 1

= 15

O processo será o mesmo do exemplo anterior. Aplicaremos a regra de Sarrus repetindo a primeira e segunda colunas.

A regra de Sarrus fornece o determinante da matriz de ordem 3. logo, det = 2 * 1 * 1 + 3 * x * 2 + 1 * x * 0 – 1 * 1 * 2 – 2 * x * 0 – 3 * x * 1. Porém o determinante já foi dado, e seu valor é 15. Então, 2 * 1 * 1 + 3 * x * 2 + 1 * x * 0 – 1 * 1 * 2 – 2 * x * 0 – 3 * x * 1 = 15.
2 + 6x + 0 – 2 – 0 – 3x = 15
3x = 15
x = 5 \ S = {5}